Решите уравнение: 3 · 6^{2x} + 7 · 6^x - 10 = 0

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( 6^x \).

1. Сделаем замену переменной: пусть \( y = 6^x \). Тогда \( 6^{2x} = (6^x)^2 = y^2 \).
2. Подставим замену в уравнение: \( 3y^2 + 7y - 10 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:
• \( a = 3, b = 7, c = -10 \)
• \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 · 3 · (-10) = 49 + 120 = 169 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \)
4. Найдем корни для \( y \):
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 13}{2 · 3} = \frac{6}{6} = 1 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 13}{2 · 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \)
5. Теперь вернемся к замене \( y = 6^x \):
• Для \( y_1 = 1 \): \( 6^x = 1 \). Так как любое число в степени 0 равно 1, то \( x = 0 \).
• Для \( y_2 = -\frac{10}{3} \): \( 6^x = -\frac{10}{3} \). Показательная функция \( 6^x \) всегда положительна, поэтому данное уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 0.