Решите уравнение √2x² + х - 11 = |x + 1|. В ответе укажите сумму корней или корень, если он единственный.

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{2x^2 + x - 11} = |x + 1| \).

1. Для начала, определим область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренного выражения: \( 2x^2 + x - 11 \ge 0 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4(2)(-11) = 1 + 88 = 89 \). Корни: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{89}}{4} \). Таким образом, \( x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{89}}{4}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{89}}{4}; \infty) \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и модуля: \( 2x^2 + x - 11 = (x + 1)^2 \).
3. Раскроем квадрат справа: \( 2x^2 + x - 11 = x^2 + 2x + 1 \).
4. Перенесём все члены уравнения в левую часть: \( 2x^2 - x^2 + x - 2x - 11 - 1 = 0 \).
5. Упростим полученное квадратное уравнение: \( x^2 - x - 12 = 0 \).
6. Найдем дискриминант для этого уравнения: \( D = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \).
7. Найдем корни уравнения: \( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{1 \pm 7}{2} \).
8. Получаем два корня: \( x_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
9. Проверим, попадают ли найденные корни в ОДЗ.
10. Для \( x_1 = 4 \): \( 2(4)^2 + 4 - 11 = 2(16) + 4 - 11 = 32 + 4 - 11 = 25 \ge 0 \). Также проверим правую часть: \( |4 + 1| = |5| = 5 \). Левая часть: \( \sqrt{25} = 5 \). \( 5 = 5 \). Корень \( x_1 = 4 \) подходит.
11. Для \( x_2 = -3 \): \( 2(-3)^2 + (-3) - 11 = 2(9) - 3 - 11 = 18 - 3 - 11 = 4 \ge 0 \). Также проверим правую часть: \( |-3 + 1| = |-2| = 2 \). Левая часть: \( \sqrt{4} = 2 \). \( 2 = 2 \). Корень \( x_2 = -3 \) подходит.
12. Оба корня подходят. Требуется найти сумму корней.
13. Сумма корней: \( 4 + (-3) = 1 \).

Ответ: 1.