Решите уравнение 2x² - 3x + √4-x = √4-x+27.

Решение:

Данное уравнение: \( 2x^2 - 3x + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + 27 \).

Заметим, что \( \sqrt{4-x} \) присутствует в обеих частях уравнения. Вычтем \( \sqrt{4-x} \) из обеих частей:

\[ 2x^2 - 3x = 27 \]

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

\[ 2x^2 - 3x - 27 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Сначала найдём дискриминант \( D \) по формуле \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = -27 \).

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 15}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 15}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]

Проверим найденные корни на допустимость. Выражение под корнем \( 4-x \) должно быть неотрицательным, то есть \( 4-x \ge 0 \), что означает \( x \le 4 \).

Первый корень: \( x_1 = \frac{9}{2} = 4.5 \). Так как \( 4.5 > 4 \), этот корень не удовлетворяет условию \( x \le 4 \).

Второй корень: \( x_2 = -3 \). Так как \( -3 \le 4 \), этот корень удовлетворяет условию.

Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = -3 \).

Ответ: x = -3.