Решите уравнение 2sin²x − 3sinx cosx − 8cos²x = 0 и найдите корни уравнения, которые принадлежат отрезку [0, π/2].

Проверим отдельно случай \(\cos x=0\): тогда \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), но исходное уравнение принимает значение \(2\ne0\), поэтому этот случай решений не даёт.

При \(\cos x\ne0\) разделим уравнение на \(\cos^2x\):

\[2\tan^2x-3\tan x-8=0.\]

Обозначим \(t=\tan x\). Получаем:

\[2t^2-3t-8=0.\]

Дискриминант: \(D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-8)=73\). Поэтому

\[t=\frac{3\pm\sqrt{73}}{4}.\]

Общее решение:

\[x=\arctan\frac{3+\sqrt{73}}4+\pi k\quad\text{или}\quad x=\arctan\frac{3-\\sqrt{73}}4+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.\]

На отрезке \([0,\frac\pi2]\) тангенс неотрицателен, поэтому подходит только \(\frac{3+\sqrt{73}}4\).

Ответ: \(x=\arctan\frac{3+\sqrt{73}}4\).