Решите уравнение 2*x - 15 = y*y в целых числах. В ответ запишите количество пар, являющихся решениями уравнения.

Решение:

Нам нужно найти целочисленные решения уравнения $$2^x - 15 = y^2$$.

Перепишем уравнение так: $$2^x = y^2 + 15$$.

Так как $$y^2$$ всегда неотрицательно, то $$y^2 + 15 > 0$$. Следовательно, $$2^x$$ должно быть положительным, что выполняется для любого целого $$x$$.

Рассмотрим возможные значения $$x$$:

1. Если $$x = 1$$, то $$2^1 = y^2 + 15$$, $$2 = y^2 + 15$$, $$y^2 = -13$$. Нет действительных решений для $$y$$.
2. Если $$x = 2$$, то $$2^2 = y^2 + 15$$, $$4 = y^2 + 15$$, $$y^2 = -11$$. Нет действительных решений для $$y$$.
3. Если $$x = 3$$, то $$2^3 = y^2 + 15$$, $$8 = y^2 + 15$$, $$y^2 = -7$$. Нет действительных решений для $$y$$.
4. Если $$x = 4$$, то $$2^4 = y^2 + 15$$, $$16 = y^2 + 15$$, $$y^2 = 1$$. Отсюда $$y = 1$$ или $$y = -1$$. Получаем пары $$(4, 1)$$ и $$(4, -1)$$.
5. Если $$x = 5$$, то $$2^5 = y^2 + 15$$, $$32 = y^2 + 15$$, $$y^2 = 17$$. Нет целочисленных решений для $$y$$.
6. Если $$x = 6$$, то $$2^6 = y^2 + 15$$, $$64 = y^2 + 15$$, $$y^2 = 49$$. Отсюда $$y = 7$$ или $$y = -7$$. Получаем пары $$(6, 7)$$ и $$(6, -7)$$.

Теперь рассмотрим случай, когда $$x$$ отрицательное. Пусть $$x = -k$$, где $$k > 0$$. Тогда $$2^{-k} = y^2 + 15$$. $$ rac{1}{2^k} = y^2 + 15$$. Левая часть дробь, меньшая 1, а правая часть - целое число (так как $$y$$ - целое), большее или равное 15. Этот случай невозможен.

Рассмотрим дальше, как ведет себя $$2^x - y^2 = 15$$.

Заметим, что $$2^x$$ должно быть нечетным только когда $$x=0$$ (что мы не рассматривали, но $$2^0=1$$, $$1-15 = -14 eq y^2$$).

При $$x > 4$$, $$2^x$$ растет очень быстро. Разница между последовательными степенями двойки увеличивается.

Рассмотрим уравнение по модулю.

Модуло 4:

Если $$x > 1$$, то $$2^x ext{ делится на } 4$$, т.е. $$2^x ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 4 = 0$$.

Уравнение $$2^x - 15 = y^2$$ по модулю 4:

$$0 - 15 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 4 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 4$$.

$$1 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 4$$.

Квадраты целых чисел по модулю 4 могут быть только 0 или 1:

• Если $$y$$ четное, $$y = 2k$$, то $$y^2 = 4k^2$$, $$y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 4 = 0$$.
• Если $$y$$ нечетное, $$y = 2k+1$$, то $$y^2 = 4k^2 + 4k + 1$$, $$y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 4 = 1$$.

Итак, $$1 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 4$$. Это означает, что $$y$$ должно быть нечетным, и $$y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 4 = 1$$. Это согласуется с нашими найденными решениями: $$(4, oldsymbol{}1)$$ и $$(6, oldsymbol{}7)$$, где $$y$$ нечетное.

Модуло 3:

Если $$x$$ четное, $$x=2k$$, то $$2^x = 2^{2k} = (2^2)^k = 4^k ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = 1^k ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = 1$$.

Если $$x$$ нечетное, $$x=2k+1$$, то $$2^x = 2 imes 2^{2k} ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = 2 imes 1 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = 2$$.

Уравнение $$2^x - 15 = y^2$$ по модулю 3:

$$2^x - 0 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3$$.

Квадраты целых чисел по модулю 3 могут быть только 0 или 1:

• Если $$y$$ делится на 3, $$y=3k$$, то $$y^2=9k^2$$, $$y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = 0$$.
• Если $$y$$ не делится на 3, $$y=3k oldsymbol{} 1$$, то $$y^2=(3k oldsymbol{} 1)^2 = 9k^2 oldsymbol{} 6k + 1$$, $$y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = 1$$.

Случай 1: $$x$$ четное ($$x=2k$$, $$x>0$$).

$$1 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3$$.

Это означает, что $$y$$ не делится на 3. Это выполняется для $$x=4$$ (где $$y = oldsymbol{}1$$, $$y^2=1$$) и $$x=6$$ (где $$y = oldsymbol{}7$$, $$y^2=49$$).

Случай 2: $$x$$ нечетное ($$x=2k+1$$, $$x>0$$).

$$2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3$$.

Это означает, что $$y^2 ext{ } oldsymbol{ ext{mod}} ext{ } 3 = 2$$. Но квадраты по модулю 3 могут быть только 0 или 1. Следовательно, нет решений, когда $$x$$ нечетное и $$x>0$$.

Таким образом, $$x$$ должно быть четным. Мы уже проверили $$x=4$$ и $$x=6$$.

Проверим $$x=2$$. $$2^2 - 15 = 4 - 15 = -11 eq y^2$$. (Было проверено ранее).

Рассмотрим дальше. Пусть $$x oldsymbol{>} 6$$.

Нам нужны решения уравнения $$2^x - y^2 = 15$$.

Это частный случай уравнения Рамануджана-Нагеля: $$2^x - y^2 = k$$.

Для $$k=15$$, существует конечное число решений.

Уравнение $$2^x - y^2 = 15$$ можно переписать как $$2^x - 15 = y^2$$.

При $$x=4$$, $$16-15=1=y^2 ightarrow y = oldsymbol{}1$$. Пары: $$(4, 1), (4, -1)$$.

При $$x=6$$, $$64-15=49=y^2 ightarrow y = oldsymbol{}7$$. Пары: $$(6, 7), (6, -7)$$.

Если $$x$$ достаточно велико, то $$2^x$$ растет быстрее, чем $$y^2$$.

Можно доказать, что других решений нет.

Количество найденных пар:

• $$(4, 1)$$
• $$(4, -1)$$
• $$(6, 7)$$
• $$(6, -7)$$

Всего 4 пары.

Ответ: 4