Решите уравнение 16^(sin 2x) - 64^(sin x) / sqrt(sin x) = 0. Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [7pi/2; 5pi].

Решение:

Для начала, давай упростим уравнение:

\[ \frac{16^{\sin(2x)} - 64^{\sin(x)}}{\sqrt{\sin(x)}} = 0 \]

Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен.

1. Числитель равен нулю:

\[ 16^{\sin(2x)} - 64^{\sin(x)} = 0 \]

Представим числа 16 и 64 как степени четверки:

\[ (4^2)^{\sin(2x)} - (4^3)^{\sin(x)} = 0 \]

\[ 4^{2 \sin(2x)} - 4^{3 \sin(x)} = 0 \]

\[ 4^{2 \sin(2x)} = 4^{3 \sin(x)} \]

Так как основания равны, приравняем показатели степеней:

\[ 2 \sin(2x) = 3 \sin(x) \]

Используем формулу двойного угла для синуса: $$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$$

\[ 2 (2 \sin(x) \cos(x)) = 3 \sin(x) \]

\[ 4 \sin(x) \cos(x) = 3 \sin(x) \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 4 \sin(x) \cos(x) - 3 \sin(x) = 0 \]

Вынесем общий множитель $$\sin(x)$$:

\[ \sin(x) (4 \cos(x) - 3) = 0 \]

Это дает нам два случая:

Случай 1: $$\sin(x) = 0$$

Случай 2: $$4 \cos(x) - 3 = 0 ightarrow \cos(x) = \frac{3}{4}$$

2. Знаменатель не равен нулю:

\[ \sqrt{\sin(x)}
e 0 \]

\[ \sin(x)
e 0 \]

Это значит, что случай 1 ($$\\sin(x) = 0$$) нам не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. Значит, решение будет только из случая 2.

3. Анализируем решения в заданном отрезке:

Нам нужно найти корни в отрезке $$\left[ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$$.

Для $$\cos(x) = \frac{3}{4}$$:

Общее решение: $$x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k$$, где $$k$$ — целое число.

Давай проверим значения $$k$$ для нашего отрезка:

• k = 0: $$x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right)$$. Эти значения меньше $$\frac{7\pi}{2}$$.
• k = 1: $$x = \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi$$ и $$x = -\arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi$$. Оба значения меньше $$\frac{7\pi}{2}$$.
• k = 2: $$x = \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 4\pi$$ и $$x = -\arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 4\pi$$.

Значение $$\arccos\left(\frac{3}{4}\right)$$ находится в первой четверти, примерно 0.72 радиан.

Тогда:

$$4\pi \approx 12.56$$

$$\frac{7\pi}{2} \approx 10.99$$

$$5\pi \approx 15.70$$

Рассмотрим $$x = \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 4\pi$$. Это значение будет больше $$4\pi$$. Так как $$\arccos\left(\frac{3}{4}\right) > 0$$, то $$x > 4\pi$$.

Давай проверим, попадает ли оно в отрезок $$\left[ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$$:

$$4\pi = \frac{8\pi}{2}$$, что больше $$\frac{7\pi}{2}$$.

$$4\pi < 5\pi$$.

Поскольку $$\arccos\left(\frac{3}{4}\right)$$ — это положительный острый угол, то $$4\pi + \arccos\left(\frac{3}{4}\right)$$ будет находиться между $$4\pi$$ и $$4\pi + \frac{\pi}{2}$$.

Наш отрезок: $$\left[ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$$.

$$rac{7 ecessary{\pi}}{2} = 3.5 ecessary{\pi}$$

$$5 ecessary{\pi}$$

$$x_1 = ecessary{\arccos}\left(\frac{3}{4}\right) + 4 ecessary{\pi} ext{ (при } k=2 ext{, со знаком +)}$$

$$x_2 = -\arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 4\pi ext{ (при } k=2 ext{, со знаком -)}$$

Для $$x_1$$: $$4 ecessary{\pi} ext{ approximately } 12.566$$. $$\arccos\left(\frac{3}{4}\right) ext{ approximately } 0.723$$. $$x_1 ext{ approximately } 13.289$$.

$$\frac{7\pi}{2} ext{ approximately } 10.995$$. $$5\pi ext{ approximately } 15.708$$.

Значит, $$x_1 = \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 4\pi$$ попадает в отрезок.

Для $$x_2$$: $$x_2 ext{ approximately } 12.566 - 0.723 = 11.843$$.

$$11.843$$ находится между $$10.995$$ и $$15.708$$. Значит, $$x_2 = -\arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 4\pi$$ также попадает в отрезок.

Проверим $$\sin(x)
e 0$$ для этих корней.

Если $$\cos(x) = \frac{3}{4}$$, то $$\sin(x) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \pm \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$$.

Так как $$\sin(x)
e 0$$, эти корни подходят.

Итак, корни уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$$, это:

\[ x = 4\pi - \arccos\left(\frac{3}{4}\right) \]

\[ x = 4\pi + \arccos\left(\frac{3}{4}\right) \]

Ответ:
Корни уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$$, равны $$4\pi - \arccos\left(\frac{3}{4}\right)$$ и $$4\pi + \arccos\left(\frac{3}{4}\right)$$.