1) Решите уравнение 2 cos²x - 3cosx - 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Решение:

Пошаговое решение:

1. Решим уравнение: Заменим cosx на t, тогда уравнение примет вид: \[ 2t^2 - 3t - 2 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] Корни квадратного уравнения: \[ t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] Вернемся к замене: \[ cosx = 2 \] (не имеет решений, так как \( -1 \le cosx \le 1 \)) \[ cosx = -\frac{1}{2} \] \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]
2. Найдем корни, принадлежащие отрезку \[ \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right] \]: Рассмотрим корни вида \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \): При \( n = 0 \): \( x = \frac{2\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку) При \( n = 1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi + 6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \) (принадлежит отрезку) Рассмотрим корни вида \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \): При \( n = 1 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{-2\pi + 6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку) При \( n = 2 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{-2\pi + 12\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} \) (принадлежит отрезку)

Ответ: Корни уравнения: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]. Корни, принадлежащие отрезку \[ \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right] \]: \[ x = \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3} \].