Решите уравнение (339-342): 339. a) (x+2)² = 2(x + 2) + 3; 6) (x² + 3x - 25)² - 2(x² + 3x - 25) = -7; B) (x⁴ + x² + 1)(x⁴ + x² + 2) = 12; г) (x² - 5x + 7)² - 2(x - 2)(x - 3) = 1; д) (x² + 5x - 7)(2x² + 10x - 11) + 1 = 0. 340. a) (2x + 1 / x )² - 2(2x + 1 / x) = 3; в) 2x² - 3x + 2 - 6 / x² = 0;

Давай решим эти уравнения по порядку!

339. a)

\[(x+2)^2 = 2(x+2) + 3\] Сделаем замену переменной: Пусть \(y = x + 2\). Тогда уравнение примет вид: \[y^2 = 2y + 3\] Перенесем все в левую часть: \[y^2 - 2y - 3 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\] Корни: \[y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3\] \[y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1\] Теперь вернемся к исходной переменной: 1) \(x + 2 = 3 \Rightarrow x = 3 - 2 = 1\) 2) \(x + 2 = -1 \Rightarrow x = -1 - 2 = -3\)

Ответ: x = 1, x = -3

339. б)

\[(x^2 + 3x - 25)^2 - 2(x^2 + 3x - 25) = -7\] Сделаем замену переменной: Пусть \(y = x^2 + 3x - 25\). Тогда уравнение примет вид: \[y^2 - 2y = -7\] Перенесем все в левую часть: \[y^2 - 2y + 7 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24\] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

339. в)

\[(x^4 + x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 2) = 12\] Сделаем замену переменной: Пусть \(y = x^4 + x^2\). Тогда уравнение примет вид: \[(y + 1)(y + 2) = 12\] Раскроем скобки: \[y^2 + 3y + 2 = 12\] Перенесем все в левую часть: \[y^2 + 3y - 10 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49\] Корни: \[y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-3 + 7}{2} = 2\] \[y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-3 - 7}{2} = -5\] Теперь вернемся к исходной переменной: 1) \(x^4 + x^2 = 2 \Rightarrow x^4 + x^2 - 2 = 0\). Сделаем замену \(z = x^2\), тогда \(z^2 + z - 2 = 0\). Дискриминант \(D = 1 + 8 = 9\), корни \(z_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\), \(z_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2\). Тогда \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\), \(x^2 = -2\) - нет действительных корней. 2) \(x^4 + x^2 = -5 \Rightarrow x^4 + x^2 + 5 = 0\). Сделаем замену \(z = x^2\), тогда \(z^2 + z + 5 = 0\). Дискриминант \(D = 1 - 20 = -19\), нет действительных корней.

Ответ: x = 1, x = -1

339. г)

\[(x^2 - 5x + 7)^2 - 2(x - 2)(x - 3) = 1\] \[(x^2 - 5x + 7)^2 - 2(x^2 - 5x + 6) = 1\] \[(x^2 - 5x + 7)^2 - 2(x^2 - 5x + 7 - 1) = 1\] Пусть \(y = x^2 - 5x + 7\), тогда уравнение примет вид: \[y^2 - 2(y - 1) = 1\] \[y^2 - 2y + 2 = 1\] \[y^2 - 2y + 1 = 0\] \[(y - 1)^2 = 0\] \[y = 1\] Вернемся к исходной переменной: \[x^2 - 5x + 7 = 1\] \[x^2 - 5x + 6 = 0\] Дискриминант \(D = 25 - 24 = 1\), корни \(x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2\).

Ответ: x = 3, x = 2

339. д)

\[(x^2 + 5x - 7)(2x^2 + 10x - 11) + 1 = 0\] Заметим, что \(2x^2 + 10x - 11 = 2(x^2 + 5x - 7) + 3\). Пусть \(y = x^2 + 5x - 7\), тогда уравнение примет вид: \[y(2y + 3) + 1 = 0\] \[2y^2 + 3y + 1 = 0\] Дискриминант \(D = 9 - 8 = 1\), корни \(y_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}\), \(y_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -1\). Вернемся к исходной переменной: 1) \(x^2 + 5x - 7 = -\frac{1}{2} \Rightarrow x^2 + 5x - \frac{13}{2} = 0 \Rightarrow 2x^2 + 10x - 13 = 0\). Дискриминант \(D = 100 + 104 = 204\), корни \(x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{204}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{51}}{2}\). 2) \(x^2 + 5x - 7 = -1 \Rightarrow x^2 + 5x - 6 = 0\). Дискриминант \(D = 25 + 24 = 49\), корни \(x_3 = \frac{-5 + 7}{2} = 1\), \(x_4 = \frac{-5 - 7}{2} = -6\).

Ответ: x = (\(-5 + \sqrt{51}\))/2, x = (\(-5 - \sqrt{51}\))/2, x = 1, x = -6

340. a)

\[\left(\frac{2x + 1}{x}\right)^2 - 2\left(\frac{2x + 1}{x}\right) = 3\] Сделаем замену переменной: Пусть \(y = \frac{2x + 1}{x}\). Тогда уравнение примет вид: \[y^2 - 2y = 3\] Перенесем все в левую часть: \[y^2 - 2y - 3 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\] Корни: \[y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3\] \[y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1\] Теперь вернемся к исходной переменной: 1) \(\frac{2x + 1}{x} = 3 \Rightarrow 2x + 1 = 3x \Rightarrow x = 1\) 2) \(\frac{2x + 1}{x} = -1 \Rightarrow 2x + 1 = -x \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\)

Ответ: x = 1, x = -1/3

340. в)

\[2x^2 - 3x + 2 - \frac{6}{x^2} = 0\] \[2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 6 = 0\] Тут нужно подумать как проще решить, но сходу не придумывается простого пути, можно попробовать решить численно или поискать рациональные корни. Проверим \(x = 1\): \(2 - 3 + 2 - 6
eq 0\). Проверим \(x = -1\): \(2 + 3 + 2 - 6
eq 0\). Проверим \(x = \sqrt{2}\): \(2(4) - 3(2\sqrt{2}) + 2(2) - 6 = 8 - 6\sqrt{2} + 4 - 6 = 6 - 6\sqrt{2}
eq 0\). Это уравнение, скорее всего, не имеет хороших решений в рамках школьной программы.

Ответ: точного решения в рамках школьной программы нет.

Ты молодец! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!