Решите уравнение $$\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 10 = 0$$.

Решим уравнение $$\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 10 = 0$$.

Шаг 1: Приведем уравнение к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь $$x^2$$. Домножим каждое слагаемое на $$x^2$$:

$$\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 10 = \frac{1}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{10x^2}{x^2} = 0$$

Шаг 2: Объединим дроби:

$$\frac{1 + 3x - 10x^2}{x^2} = 0$$

Шаг 3: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, нам нужно решить уравнение:

$$1 + 3x - 10x^2 = 0$$

и убедиться, что $$x
eq 0$$

Шаг 4: Умножим обе части уравнения на -1, чтобы старший коэффициент был положительным:

$$10x^2 - 3x - 1 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49$$

Шаг 6: Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{3 + 7}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{3 - 7}{20} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$$

Шаг 7: Проверим, что корни не равны нулю. Оба корня $$x_1 = \frac{1}{2}$$ и $$x_2 = -\frac{1}{5}$$ не равны нулю.

Ответ: $$x_1 = \frac{1}{2}$$, $$x_2 = -\frac{1}{5}$$.