20. Решите уравнение |x²-9|+|x³-7x+6|=0.

Решим уравнение |x²-9|+|x³-7x+6|=0.

Заметим, что сумма модулей равна нулю тогда и только тогда, когда каждый модуль равен нулю.

1) |x²-9|=0

x²-9=0

x²=9

x=±3

2) |x³-7x+6|=0

x³-7x+6=0

Подбором находим один из корней x=1.

Разделим многочлен x³-7x+6 на (x-1) столбиком:

        x² +  x - 6
x - 1 | x³ + 0x² - 7x + 6
       -x³ +  x²
       ----------
            x² - 7x
           -x² +  x
           ---------
               -6x + 6
               +6x - 6
               ---------
                    0

Получаем x³-7x+6 = (x-1)(x²+x-6)=0

Решим квадратное уравнение x²+x-6=0

$$D = 1^2 - 4 cdot 1 cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

$$x_{1,2} = \frac{-1 pm sqrt{25}}{2} = \frac{-1 pm 5}{2}$$

$$x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Получили корни: x=1, x=2, x=-3.

Теперь проверим, при каких x оба модуля равны нулю:

x=3: |3²-9|+|3³-7·3+6| = |9-9|+|27-21+6| = 0 + |12| = 12 ≠ 0

x=-3: |(-3)²-9|+|(-3)³-7·(-3)+6| = |9-9|+|-27+21+6| = 0 + 0 = 0

Ответ: x = -3