Решите уравнение \frac{9x^2 + 1}{5} = \frac{3x + 1}{4} + \frac{6x + 1}{7}. В ответе запишите сумму корней, умноженную на 28.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 5 * 4 * 7 = 140, чтобы избавиться от дробей:\[\frac{9x^2 + 1}{5} = \frac{3x + 1}{4} + \frac{6x + 1}{7}\]\[140 \cdot \frac{9x^2 + 1}{5} = 140 \cdot \frac{3x + 1}{4} + 140 \cdot \frac{6x + 1}{7}\]\[28(9x^2 + 1) = 35(3x + 1) + 20(6x + 1)\]
2. Шаг 2: Раскроем скобки:\[252x^2 + 28 = 105x + 35 + 120x + 20\]\[252x^2 + 28 = 225x + 55\]
3. Шаг 3: Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые:\[252x^2 - 225x + 28 - 55 = 0\]\[252x^2 - 225x - 27 = 0\]
4. Шаг 4: Разделим обе части на 9:\[28x^2 - 25x - 3 = 0\]
5. Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения. Для этого вычислим дискриминант D:\[D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 28 \cdot (-3) = 625 + 336 = 961\]\[\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31\]
6. Шаг 6: Найдем корни уравнения:\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 31}{2 \cdot 28} = \frac{56}{56} = 1\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 31}{2 \cdot 28} = \frac{-6}{56} = -\frac{3}{28}\]
7. Шаг 7: Найдем сумму корней:\[x_1 + x_2 = 1 + \left(-\frac{3}{28}\right) = \frac{28}{28} - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}\]
8. Шаг 8: Умножим сумму корней на 28:\[\frac{25}{28} \cdot 28 = 25\]

Ответ: 25