167. Решите уравнение: 1) (\frac{1}{64})^x = \sqrt{\frac{1}{8}}; 2) 8^x = 128\sqrt{2}; 3) (2,5)^{2x-3} = 15\frac{5}{8}; 4) 0,125 \cdot 4^{2x+3} = \frac{0,25}{\sqrt{2}}; 5) 9^{2\sqrt{x}} = 3^{2x-6}; 6) 10^{x-\sqrt{x^2+5x+1}} = 1000; 7) 5^{x-\sqrt{3x-5}} = 125; 8) (\frac{3}{2})^{2-2x} - (\frac{8}{27})^{x-2} = 0.

Решение уравнения 1

Давай решим уравнение по шагам:

1. \((\frac{1}{64})^x = \sqrt{\frac{1}{8}}\).
2. Преобразуем обе части уравнения, чтобы выразить их через степени с одинаковым основанием. Заметим, что \(\frac{1}{64} = 2^{-6}\) и \(\sqrt{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{2}} = (2^{-3})^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{3}{2}}\).
3. Тогда уравнение можно переписать как \((2^{-6})^x = 2^{-\frac{3}{2}}\) или \(2^{-6x} = 2^{-\frac{3}{2}}\).
4. Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(-6x = -\frac{3}{2}\).
5. Разделим обе части на -6: \(x = \frac{-\frac{3}{2}}{-6} = \frac{3}{2 \cdot 6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).

Ответ: \(x = \frac{1}{4}\)

Отлично! У тебя получилось решить это уравнение. Продолжай в том же духе!

Решение уравнения 2

Давай решим уравнение по шагам:

1. \(8^x = 128\sqrt{2}\).
2. Представим обе части уравнения как степени числа 2: \((2^3)^x = 2^7 \cdot 2^{\frac{1}{2}}\) или \(2^{3x} = 2^{7 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{15}{2}}\).
3. Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(3x = \frac{15}{2}\).
4. Разделим обе части на 3: \(x = \frac{15}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5\).

Ответ: \(x = 2.5\)

Замечательно! Ты справился и с этим уравнением. Не останавливайся на достигнутом!

Решение уравнения 3

Давай решим уравнение по шагам:

1. \((2.5)^{2x-3} = 15\frac{5}{8}\).
2. Преобразуем дробь в десятичную: \(15\frac{5}{8} = 15 + \frac{5}{8} = 15 + 0.625 = 15.625\).
3. Преобразуем 2.5 в \(\frac{5}{2}\), тогда уравнение можно переписать как \((\frac{5}{2})^{2x-3} = 15.625\).
4. Заметим, что \(15.625 = \frac{125}{8} = (\frac{5}{2})^3\), таким образом, \((\frac{5}{2})^{2x-3} = (\frac{5}{2})^3\).
5. Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(2x - 3 = 3\).
6. Решим полученное уравнение: \(2x = 3 + 3 = 6\), следовательно, \(x = \frac{6}{2} = 3\).

Ответ: \(x = 3\)

Прекрасно! Ты отлично решаешь уравнения. Продолжай тренироваться!

Решение уравнения 4

Давай решим уравнение по шагам:

1. \(0.125 \cdot 4^{2x+3} = \frac{0.25}{\sqrt{2}}\).
2. Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: \(0.125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\) и \(0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}\).
3. Уравнение можно переписать как \(2^{-3} \cdot (2^2)^{2x+3} = \frac{2^{-2}}{2^{\frac{1}{2}}}\).
4. Упростим: \(2^{-3} \cdot 2^{4x+6} = 2^{-2 - \frac{1}{2}} = 2^{-\frac{5}{2}}\).
5. Соберем степени: \(2^{4x+6-3} = 2^{4x+3} = 2^{-\frac{5}{2}}\).
6. Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(4x + 3 = -\frac{5}{2}\).
7. Решим уравнение: \(4x = -\frac{5}{2} - 3 = -\frac{5}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{11}{2}\).
8. Разделим обе части на 4: \(x = \frac{-\frac{11}{2}}{4} = -\frac{11}{2 \cdot 4} = -\frac{11}{8}\).

Ответ: \(x = -\frac{11}{8}\)

Отлично! И с этим уравнением ты разобрался. Продолжай решать!

Решение уравнения 5

Давай решим уравнение по шагам:

1. \(9^{2\sqrt{x}} = 3^{2x-6}\).
2. Представим обе части уравнения как степени числа 3: \((3^2)^{2\sqrt{x}} = 3^{2x-6}\) или \(3^{4\sqrt{x}} = 3^{2x-6}\).
3. Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(4\sqrt{x} = 2x - 6\).
4. Разделим обе части на 2: \(2\sqrt{x} = x - 3\).
5. Возведем обе части в квадрат: \((2\sqrt{x})^2 = (x - 3)^2\) или \(4x = x^2 - 6x + 9\).
6. Перенесем все в одну сторону: \(x^2 - 10x + 9 = 0\).
7. Решим квадратное уравнение: \(x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}\).
8. Получаем два корня: \(x_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\) и \(x_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\).
9. Проверим корни:
10. Для \(x = 9\): \(2\sqrt{9} = 9 - 3\) или \(2 \cdot 3 = 6\), что верно.
11. Для \(x = 1\): \(2\sqrt{1} = 1 - 3\) или \(2 = -2\), что неверно.

Ответ: \(x = 9\)

Отлично! Ты справился с этим уравнением. Так держать!

Решение уравнения 6

Давай решим уравнение по шагам:

1. \(10^{x-\sqrt{x^2+5x+1}} = 1000\).
2. Заметим, что \(1000 = 10^3\), поэтому уравнение можно переписать как \(10^{x-\sqrt{x^2+5x+1}} = 10^3\).
3. Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(x - \sqrt{x^2+5x+1} = 3\).
4. Выразим корень: \(\sqrt{x^2+5x+1} = x - 3\).
5. Возведем обе части в квадрат: \(x^2 + 5x + 1 = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\).
6. Упростим: \(5x + 1 = -6x + 9\).
7. Перенесем все в одну сторону: \(11x = 8\).
8. Решим уравнение: \(x = \frac{8}{11}\).
9. Проверим корень: \(\sqrt{(\frac{8}{11})^2 + 5(\frac{8}{11}) + 1} = \frac{8}{11} - 3\).
10. \(\sqrt{\frac{64}{121} + \frac{40}{11} + 1} = \sqrt{\frac{64 + 440 + 121}{121}} = \sqrt{\frac{625}{121}} = \frac{25}{11}\).
11. \(\frac{8}{11} - 3 = \frac{8 - 33}{11} = -\frac{25}{11}\).
12. Так как корень не может быть отрицательным, то \(x = \frac{8}{11}\) не является решением.

Ответ: Решений нет

Все в порядке! Не всегда же уравнения имеют решение. Важно, что ты попробовал!

Решение уравнения 7

Давай решим уравнение по шагам:

1. \(5^{x-\sqrt{3x-5}} = 125\).
2. Заметим, что \(125 = 5^3\), поэтому уравнение можно переписать как \(5^{x-\sqrt{3x-5}} = 5^3\).
3. Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(x - \sqrt{3x-5} = 3\).
4. Выразим корень: \(\sqrt{3x-5} = x - 3\).
5. Возведем обе части в квадрат: \(3x - 5 = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\).
6. Перенесем все в одну сторону: \(x^2 - 9x + 14 = 0\).
7. Решим квадратное уравнение: \(x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}\).
8. Получаем два корня: \(x_1 = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7\) и \(x_2 = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
9. Проверим корни:
10. Для \(x = 7\): \(\sqrt{3 \cdot 7 - 5} = 7 - 3\) или \(\sqrt{21 - 5} = \sqrt{16} = 4\), что верно.
11. Для \(x = 2\): \(\sqrt{3 \cdot 2 - 5} = 2 - 3\) или \(\sqrt{6 - 5} = \sqrt{1} = 1\), но \(2 - 3 = -1\), что неверно.

Ответ: \(x = 7\)

Замечательно! Ты нашел верное решение. У тебя все получается!

Решение уравнения 8

Давай решим уравнение по шагам:

1. \((\frac{3}{2})^{2-2x} - (\frac{8}{27})^{x-2} = 0\).
2. Перенесем второй член вправо: \((\frac{3}{2})^{2-2x} = (\frac{8}{27})^{x-2}\).
3. Заметим, что \(\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3\), поэтому уравнение можно переписать как \((\frac{3}{2})^{2-2x} = ((\frac{2}{3})^3)^{x-2}\).
4. Тогда \((\frac{3}{2})^{2-2x} = (\frac{2}{3})^{3x-6}\).
5. Преобразуем \(\frac{2}{3}\) в \((\frac{3}{2})^{-1}\), тогда \((\frac{3}{2})^{2-2x} = ((\frac{3}{2})^{-1})^{3x-6} = (\frac{3}{2})^{-3x+6}\).
6. Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(2 - 2x = -3x + 6\).
7. Перенесем все в одну сторону: \(x = 4\).

Ответ: \(x = 4\)

Превосходно! Ты решил все уравнения. Ты сегодня очень хорошо поработал!