Решите уравнение (√7+√48)ˣ+(√7-√48) = 14. Если корней несколько, то в ответ вынесите наименьший.

Решим уравнение:

$$(\sqrt{7}+\sqrt{48})^x + (\sqrt{7}-\sqrt{48})^x = 14$$

Заметим, что

$$(\sqrt{7}+\sqrt{48})(\sqrt{7}-\sqrt{48}) = 7-48 = -41$$

Это не помогает упростить уравнение, так как произведение не равно 1.

Попробуем выразить \(\sqrt{7}-\sqrt{48}\) через \(\sqrt{7}+\sqrt{48}\):

Заметим, что

$$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$

Тогда

$$\sqrt{7} + \sqrt{48} = \sqrt{7} + 4\sqrt{3}$$

$$\sqrt{7} - \sqrt{48} = \sqrt{7} - 4\sqrt{3}$$

Заметим, что числа большие 7 являются решением данного уравнения, так как

$$(\sqrt{7}+\sqrt{48}) > 0$$

$$(\sqrt{7}-\sqrt{48}) < 0$$

Пусть $$a = (\sqrt{7} + 4\sqrt{3})^x$$ и $$b = (\sqrt{7} - 4\sqrt{3})^x$$

Тогда данное уравнение примет вид

$$a+b=14$$

Но, нужно заметить, что $$(\sqrt{7} + 4\sqrt{3}) > 1$$ и $$(\sqrt{7} - 4\sqrt{3}) < -1$$.

Если предположить, что x=2, то

$$(\sqrt{7} + 4\sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} - 4\sqrt{3})^2 = 7 + 8\sqrt{21} + 48 + 7 - 8\sqrt{21} + 48 = 110$$

Предположим x = -2

$$(\sqrt{7} + 4\sqrt{3})^{-2} + (\sqrt{7} - 4\sqrt{3})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{7} + 4\sqrt{3})^{2}} + \frac{1}{(\sqrt{7} - 4\sqrt{3})^{2}} = \frac{(\sqrt{7} - 4\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{7} + 4\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{7} + 4\sqrt{3})^{2}(\sqrt{7} - 4\sqrt{3})^{2}} = \frac{110}{(7-48)^2} = \frac{110}{(-41)^2} = \frac{110}{1681}
eq 14 $$

Пусть $$ a = \sqrt{7} + \sqrt{48} $$ и $$ b = \sqrt{7} - \sqrt{48} $$

$$ a^x + b^x = 14$$

Если x = -1

$$a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{48} + \sqrt{7} - \sqrt{48}}{(\sqrt{7} + \sqrt{48})(\sqrt{7} - \sqrt{48})} = \frac{2\sqrt{7}}{-41}
eq 14 $$

Если x = 1

$$ a+b = \sqrt{7} + \sqrt{48} + \sqrt{7} - \sqrt{48} = 2\sqrt{7}
eq 14 $$

В случае x = 2

$$ a^2+b^2=110
eq 14$$

Т.е. при целых значениях x данное уравнение не имеет решения.

Попробуем упростить \(\sqrt{7} + \sqrt{48}\)

$$ \sqrt{7} + \sqrt{48} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$$

$$ \sqrt{7} - \sqrt{48} = \sqrt{7 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = 2-\sqrt{3}$$

Тогда $$ (2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 14$$

Теперь заметим, что $$ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3 = 1$$, а значит $$ (2-\sqrt{3}) = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$$

Подставим в уравнение

$$ (2+\sqrt{3})^x + (2+\sqrt{3})^{-x} = 14$$

Пусть $$ t = (2+\sqrt{3})^x$$

Тогда

$$ t + \frac{1}{t} = 14$$

$$ t^2 + 1 = 14t$$

$$ t^2 - 14t + 1 = 0$$

$$ D = 14^2 - 4 = 196 - 4 = 192$$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$$

$$ t_1 = \frac{14+8\sqrt{3}}{2} = 7 + 4\sqrt{3}$$

$$ t_2 = \frac{14-8\sqrt{3}}{2} = 7 - 4\sqrt{3}$$

$$ t_1 = (2+\sqrt{3})^2$$

$$ t_2 = (2-\sqrt{3})^2$$

Тогда

$$ (2+\sqrt{3})^x = (2+\sqrt{3})^2$$ или $$(2+\sqrt{3})^x = (2-\sqrt{3})^2$$

В первом случае

$$ x = 2$$

Во втором случае

$$ (2+\sqrt{3})^x = (2+\sqrt{3})^{-2}$$

$$ x = -2$$

Наименьший корень -2

Ответ: -2