Решите уравнение 8*(4ˣ+4⁻ˣ)-54*(2ˣ+2⁻ˣ)+101 = 0. Если корней несколько, то выпишите все в порядке возрастания через точку с запятой без пробелов между знаками, например, если корни -3 и 5, то в ответ пойдет -3;5

Решим уравнение:

$$8(4^x + 4^{-x}) - 54(2^x + 2^{-x}) + 101 = 0$$

Заметим, что $$4^x = (2^x)^2$$ и $$4^{-x} = (2^{-x})^2$$. Пусть $$t = 2^x + 2^{-x}$$. Тогда $$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = 4^x + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 4^{-x} = 4^x + 2 + 4^{-x}$$, откуда $$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$$. Подставим в исходное уравнение:

$$8(t^2 - 2) - 54t + 101 = 0$$ $$8t^2 - 16 - 54t + 101 = 0$$ $$8t^2 - 54t + 85 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = (-54)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 85 = 2916 - 2720 = 196 = 14^2$$ $$t_1 = \frac{54 + 14}{16} = \frac{68}{16} = \frac{17}{4}$$ $$t_2 = \frac{54 - 14}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}$$

Вернемся к исходной переменной x:

1) $$2^x + 2^{-x} = \frac{17}{4}$$

$$2^x + \frac{1}{2^x} = \frac{17}{4}$$

Умножим обе части на $$4 \cdot 2^x$$

$$4 \cdot (2^x)^2 + 4 = 17 \cdot 2^x$$ $$4 \cdot (2^x)^2 - 17 \cdot 2^x + 4 = 0$$

Пусть $$y = 2^x$$, тогда $$4y^2 - 17y + 4 = 0$$

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$$ $$y_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$$ $$y_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ $$2^x = 4 = 2^2$$ или $$2^x = \frac{1}{4} = 2^{-2}$$ $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -2$$

2) $$2^x + 2^{-x} = \frac{5}{2}$$

$$2^x + \frac{1}{2^x} = \frac{5}{2}$$

Умножим обе части на $$2 \cdot 2^x$$

$$2 \cdot (2^x)^2 + 2 = 5 \cdot 2^x$$ $$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$$

Пусть $$y = 2^x$$, тогда $$2y^2 - 5y + 2 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$$ $$y_3 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$y_4 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$2^x = 2 = 2^1$$ или $$2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1}$$ $$x_3 = 1$$, $$x_4 = -1$$

Корни уравнения: -2, -1, 1, 2

Ответ: -2;-1;1;2