Решите уравнение \frac{16y-10}{2y} - \frac{9y}{y+2} = 0. Сколько корней имеет уравнение? Найдите произведение корней уравнения.

Ответ: 2 корня; произведение корней: -10

Решение:

Решим уравнение:

\[\frac{16y-10}{2y} - \frac{9y}{y+2} = 0\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(16y-10)(y+2) - 9y(2y)}{2y(y+2)} = 0\]

Раскроем скобки:

\[\frac{16y^2 + 32y - 10y - 20 - 18y^2}{2y(y+2)} = 0\]

Приведем подобные члены:

\[\frac{-2y^2 + 22y - 20}{2y(y+2)} = 0\]

Умножим обе части уравнения на знаменатель (с учетом, что y ≠ 0 и y ≠ -2):

\[-2y^2 + 22y - 20 = 0\]

Разделим обе части на -2:

\[y^2 - 11y + 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81\]

\[y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

\[y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 9}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Оба корня удовлетворяют условию, что y ≠ 0 и y ≠ -2.

Уравнение имеет 2 корня: 10 и 1.

Произведение корней: 10 * 1 = 10.

Теперь рассмотрим вопрос о количестве корней уравнения и найдем произведение корней.

Количество корней уравнения: 2

Произведение корней уравнения: 10

Ответ: 2 корня; произведение корней: 10