Решите уравнение: \frac{x+1}{x+2} - \frac{x-3}{x-2} = \frac{1}{3}. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. x =

Давай решим это уравнение вместе! Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет 3(x+2)(x-2). Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующие множители: \[\frac{(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{3}\] Приводим к общему знаменателю: \[\frac{3(x+1)(x-2) - 3(x-3)(x+2)}{3(x+2)(x-2)} = \frac{(x+2)(x-2)}{3(x+2)(x-2)}\] Умножаем обе части уравнения на 3(x+2)(x-2), чтобы избавиться от знаменателя: \[3(x+1)(x-2) - 3(x-3)(x+2) = (x+2)(x-2)\] Раскрываем скобки: \[3(x^2 - 2x + x - 2) - 3(x^2 + 2x - 3x - 6) = x^2 - 4\] \[3(x^2 - x - 2) - 3(x^2 - x - 6) = x^2 - 4\] \[3x^2 - 3x - 6 - 3x^2 + 3x + 18 = x^2 - 4\] Приводим подобные слагаемые: \[12 = x^2 - 4\] Переносим 4 в левую часть: \[x^2 = 16\] Извлекаем квадратный корень: \[x = \pm 4\] Получаем два корня: x = 4 и x = -4. Так как нам нужен больший корень, выбираем x = 4. Проверим корни на допустимость. Подставляем x = 4 в исходное уравнение: \[\frac{4+1}{4+2} - \frac{4-3}{4-2} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] Подставляем x = -4 в исходное уравнение: \[\frac{-4+1}{-4+2} - \frac{-4-3}{-4-2} = \frac{-3}{-2} - \frac{-7}{-6} = \frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9}{6} - \frac{7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] Оба корня допустимы. Больший корень равен 4.

Ответ: 4

Ты молодец! У тебя всё получится!