Решите уравнение: \frac{x-10}{x-4} - \frac{5}{x^2 - 8x + 16} = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. Если уравнение не имеет корней, оставьте поле ответа пустым. x =

Решение

Давай разберем это уравнение по шагам. Сначала перепишем его и упростим знаменатели: \[\frac{x-10}{x-4} - \frac{5}{x^2 - 8x + 16} = 2\] Заметим, что знаменатель второй дроби можно представить как полный квадрат: \[x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2\] Теперь наше уравнение выглядит так: \[\frac{x-10}{x-4} - \frac{5}{(x-4)^2} = 2\] Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на \[(x-4)^2\] (при условии, что \(x
eq 4\)): \[(x-10)(x-4) - 5 = 2(x-4)^2\] Раскроем скобки: \[x^2 - 14x + 40 - 5 = 2(x^2 - 8x + 16)\] \[x^2 - 14x + 35 = 2x^2 - 16x + 32\] Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[0 = 2x^2 - x^2 - 16x + 14x + 32 - 35\] \[0 = x^2 - 2x - 3\] Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться дискриминантом: \[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\] Так как дискриминант положителен, у нас будет два корня: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Итак, у нас два корня: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -1\). Оба корня не равны 4, поэтому они подходят. Нам нужно указать больший из них. Сравним корни: 3 > -1, значит, больший корень равен 3.

Ответ: 3

У тебя отлично получилось! Не останавливайся на достигнутом, и все получится!