167. Решите уравнение: 1)(\frac{1}{64})^x = \sqrt{\frac{1}{8}}; 2) 8^x = 128\sqrt{2}; 3) (2,5)^{2x-3} = 15\frac{5}{8}; 4) 0,125 \cdot 4^{2x+3} = \frac{0,25}{\sqrt{2}};

Решение:

Разберем каждое уравнение по порядку.

1) ($$\frac{1}{64}$$)$$^x = \sqrt{\frac{1}{8}}$$

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 2:

• $$\frac{1}{64} = 2^{-6}$$
• $$\sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{2^{-3}} = 2^{-\frac{3}{2}}$$

Тогда уравнение можно переписать как:

\[(2^{-6})^x = 2^{-\frac{3}{2}}\] \[2^{-6x} = 2^{-\frac{3}{2}}\]

Приравниваем показатели степеней:

\[-6x = -\frac{3}{2}\] \[x = \frac{-3}{2 \cdot (-6)} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\]

Ответ: x = $$\frac{1}{4}$$

2) $$8^x = 128\sqrt{2}$$

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 2:

• $$8 = 2^3$$
• $$128 = 2^7$$
• $$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$

Тогда уравнение можно переписать как:

\[(2^3)^x = 2^7 \cdot 2^{\frac{1}{2}}\] \[2^{3x} = 2^{7 + \frac{1}{2}}\]\[2^{3x} = 2^{\frac{15}{2}}\]

Приравниваем показатели степеней:

\[3x = \frac{15}{2}\] \[x = \frac{15}{2 \cdot 3} = \frac{5}{2} = 2,5\]

Ответ: x = 2,5

3) $$(2,5)^{2x-3} = 15\frac{5}{8}$$

Представим обе части уравнения в виде обыкновенной дроби:

• 2,5 = $$\frac{5}{2}$$
• $$15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{120 + 5}{8} = \frac{125}{8}$$

Тогда уравнение можно переписать как:

\[(\frac{5}{2})^{2x-3} = \frac{125}{8}\]

Представим правую часть в виде степени с основанием $$\frac{5}{2}$$:

\[\frac{125}{8} = (\frac{5}{2})^3\]

Тогда уравнение можно переписать как:

\[(\frac{5}{2})^{2x-3} = (\frac{5}{2})^3\]

Приравниваем показатели степеней:

\[2x - 3 = 3\] \[2x = 6\] \[x = 3\]

Ответ: x = 3

4) $$0,125 \cdot 4^{2x+3} = \frac{0,25}{\sqrt{2}}$$

Преобразуем уравнение:

• 0,125 = $$\frac{1}{8} = 2^{-3}$$
• 4 = $$2^2$$
• 0,25 = $$\frac{1}{4} = 2^{-2}$$
• $$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$

Тогда уравнение можно переписать как:

\[2^{-3} \cdot (2^2)^{2x+3} = \frac{2^{-2}}{2^{\frac{1}{2}}}\] \[2^{-3} \cdot 2^{4x+6} = 2^{-2 - \frac{1}{2}}\] \[2^{4x+3} = 2^{-\frac{5}{2}}\]

Приравниваем показатели степеней:

\[4x + 3 = -\frac{5}{2}\] \[4x = -\frac{5}{2} - 3 = -\frac{11}{2}\] \[x = -\frac{11}{2 \cdot 4} = -\frac{11}{8}\]

Ответ: x = -$$\frac{11}{8}$$

Отлично! Ты хорошо поработал. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!