5. Решите уравнение \[\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1.\]

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Разделим обе части уравнения на 2: \[\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2}\]

• Шаг 2: Введем вспомогательный угол.

Заметим, что \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})\) и \(\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})\). Тогда уравнение можно переписать в виде: \[\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x = \frac{1}{2}\]

• Шаг 3: Используем формулу синуса суммы.

Применяем формулу \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\). Тогда: \[\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\]

• Шаг 4: Решим полученное уравнение.

Общее решение уравнения \(\sin y = \frac{1}{2}\) имеет вид: \[y = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] В нашем случае \(y = x + \frac{\pi}{6}\), следовательно: \[x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

• Шаг 5: Найдем решения для четных и нечетных n.

Для четных n (\(n = 2k\)): \[x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Для нечетных n (\(n = 2k + 1\)): \[x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi (2k + 1) \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = 2\pi k\), \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)