Решите уравнение: \[\frac{2}{x^2-4} - \frac{1}{x^2-2x} = \frac{4-x}{x^2+2x}\]

Привет! Давай вместе решим это уравнение. Будем действовать шаг за шагом.

\( \frac{2}{x^2-4} - \frac{1}{x^2-2x} = \frac{4-x}{x^2+2x} \)

Сначала разложим знаменатели на множители:

\( \frac{2}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x(x-2)} = \frac{4-x}{x(x+2)} \)

Теперь определим общий знаменатель, который будет равен \( x(x-2)(x+2) \). Домножим каждую дробь на соответствующие множители, чтобы привести к общему знаменателю:

\( \frac{2x}{x(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{(4-x)(x-2)}{x(x-2)(x+2)} \)

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можем приравнять числители:

\( 2x - (x+2) = (4-x)(x-2) \)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\( 2x - x - 2 = 4x - 8 - x^2 + 2x \)

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x - 2 = 6x - 8 - x^2 \)

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант \( D \):

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)

Так как \( D > 0 \), у нас будет два корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \)

Теперь проверим, не являются ли эти корни посторонними, то есть не обращают ли знаменатель в ноль.

Если \( x = 2 \), то знаменатель \( x^2 - 4 = 0 \) и \( x^2 - 2x = 0 \). Значит, \( x = 2 \) - посторонний корень.

Если \( x = 3 \), то все знаменатели определены и не равны нулю.

Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = 3 \).

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!