Решите тригонометрическое уравнение: \( \sin 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Решение:

Данное уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида \( \sin x = a \).

1. Сначала найдём общий вид решения для \( 3x \). Если \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( \alpha \) может быть равно \( -\frac{\pi}{4} \) или \( \frac{5\pi}{4} \).
2. Общая формула для решений уравнения \( \sin x = a \) имеет вид: \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \) — целое число.
3. Применим эту формулу к нашему уравнению, где \( a = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} \):
   \( 3x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n \)
4. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти \( x \):
   \( x = \frac{(-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right)}{3} + \frac{\pi n}{3} \)
5. Упростим выражение:
   \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \)

Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).