Решите тригонометрические уравнения: 1) tg²x - 3tgx - 4 = 0 2) 2sin²x - 5cosx - 5 = 0 3) 8sin²x - sinxcosx - cos²x = 3

Решение:

1. Уравнение 1: \( tg^2x - 3tgx - 4 = 0 \)

   Пусть \( y = tgx \). Тогда получим квадратное уравнение: \( y^2 - 3y - 4 = 0 \).

   Найдём дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).

   Корни квадратного уравнения: \( y_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \).

   Теперь вернёмся к \( tgx \):

   а) \( tgx = 4 \) \( \implies x = arctg(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

   б) \( tgx = -1 \) \( \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

2. Уравнение 2: \( 2sin^2x - 5cosx - 5 = 0 \)

   Используем основное тригонометрическое тождество: \( sin^2x = 1 - cos^2x \).

   Подставим: \( 2(1 - cos^2x) - 5cosx - 5 = 0 \).

   \( 2 - 2cos^2x - 5cosx - 5 = 0 \).

   \( -2cos^2x - 5cosx - 3 = 0 \).

   Умножим на -1: \( 2cos^2x + 5cosx + 3 = 0 \).

   Пусть \( z = cosx \). Тогда \( 2z^2 + 5z + 3 = 0 \).

   Найдём дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \).

   Корни квадратного уравнения: \( z_1 = \frac{-5 + 1}{4} = -1 \) и \( z_2 = \frac{-5 - 1}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \).

   Теперь вернёмся к \( cosx \):

   а) \( cosx = -1 \) \( \implies x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \).

   б) \( cosx = -\frac{3}{2} \). Это уравнение не имеет решений, так как \( -1 \le cosx \le 1 \).

3. Уравнение 3: \( 8sin^2x - sinxcosx - cos^2x = 3 \)

   Преобразуем правую часть: \( 3 = 3(sin^2x + cos^2x) \).

   \( 8sin^2x - sinxcosx - cos^2x = 3sin^2x + 3cos^2x \).

   Перенесём всё в левую часть: \( 8sin^2x - 3sin^2x - sinxcosx - cos^2x - 3cos^2x = 0 \).

   \( 5sin^2x - sinxcosx - 4cos^2x = 0 \).

   Если \( cosx = 0 \), то \( 5sin^2x = 0 \), что невозможно, так как \( sin^2x = 1 \) при \( cosx = 0 \). Значит \( cosx
   e 0 \).

   Разделим обе части на \( cos^2x \):

   \( \frac{5sin^2x}{cos^2x} - \frac{sinxcosx}{cos^2x} - \frac{4cos^2x}{cos^2x} = 0 \).

   \( 5tg^2x - tgx - 4 = 0 \).

   Пусть \( t = tgx \). Тогда \( 5t^2 - t - 4 = 0 \).

   Найдём дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 \).

   Корни квадратного уравнения: \( t_1 = \frac{1 + 9}{10} = 1 \) и \( t_2 = \frac{1 - 9}{10} = -0.8 = -\frac{4}{5} \).

   Теперь вернёмся к \( tgx \):

   а) \( tgx = 1 \) \( \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi p, p \in \mathbb{Z} \).

   б) \( tgx = -\frac{4}{5} \) \( \implies x = arctg(-\frac{4}{5}) + \pi q, q \in \mathbb{Z} \).

Ответ: 1) \( x = arctg(4) + \pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z} \); 2) \( x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \); 3) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi p, x = arctg(-\frac{4}{5}) + \pi q, p, q \in \mathbb{Z} \).