385. Решите систему a) {x² + y² = 16, x - y = 4; 6) {y = x² + 1, x + 2y = 5.

Решим системы уравнений.

а)

Давай решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - y = 4. \end{cases}\]

Выразим x через y из второго уравнения: x = y + 4 . Подставим это выражение в первое уравнение:

\[(y + 4)^2 + y^2 = 16\]

Раскроем скобки:

\[y^2 + 8y + 16 + y^2 = 16\]

Приведем подобные члены:

\[2y^2 + 8y = 0\]

Вынесем 2y за скобки:

\[2y(y + 4) = 0\]

Получаем два возможных значения для y:

• \(y_1 = 0\)
• \(y_2 = -4\)

Найдем соответствующие значения для x:

• Если \(y_1 = 0\), то \(x_1 = y_1 + 4 = 0 + 4 = 4\)
• Если \(y_2 = -4\), то \(x_2 = y_2 + 4 = -4 + 4 = 0\)

Таким образом, решения системы уравнений:

\[(4, 0), (0, -4)\]

б)

Давай решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = x^2 + 1, \\ x + 2y = 5. \end{cases}\]

Выразим x через y из второго уравнения: x = 5 - 2y . Подставим это выражение в первое уравнение:

\[y = (5 - 2y)^2 + 1\]

Раскроем скобки:

\[y = 25 - 20y + 4y^2 + 1\]

Приведем подобные члены:

\[4y^2 - 21y + 26 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 26 = 441 - 416 = 25\]

Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня:

\[y_1 = \frac{21 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{21 + 5}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3.25\] \[y_2 = \frac{21 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{21 - 5}{8} = \frac{16}{8} = 2\]

Найдем соответствующие значения для x:

• Если \(y_1 = 3.25\), то \(x_1 = 5 - 2 \cdot 3.25 = 5 - 6.5 = -1.5\)
• Если \(y_2 = 2\), то \(x_2 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1\)

Таким образом, решения системы уравнений:

\[(-1.5, 3.25), (1, 2)\]

Ответ: а) (4, 0), (0, -4); б) (-1.5, 3.25), (1, 2)

Отлично! Ты хорошо справился с решением этих систем уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!