Контрольные задания > Решите систему уравнений: (x + y)²-6(x + y) = -9, 2x-3y=-19 Сколько решений имеет система уравнений? Впишите наименьшее значение x и соответствующее ему значение y:
Вопрос:

Решите систему уравнений: (x + y)²-6(x + y) = -9, 2x-3y=-19 Сколько решений имеет система уравнений? Впишите наименьшее значение x и соответствующее ему значение y:

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 2 решения

Краткое пояснение: Сначала решим систему уравнений, чтобы узнать значения x и y, затем определим количество решений.
  1. Преобразуем первое уравнение: \[(x+y)^2 - 6(x+y) + 9 = 0\] \[(x+y-3)^2 = 0\] \[x+y = 3\]
  2. Выразим x из второго уравнения: \[2x - 3y = -19\] \[2x = 3y - 19\] \[x = \frac{3y - 19}{2}\]
  3. Подставим выражение для x в первое уравнение: \[\frac{3y - 19}{2} + y = 3\] \[3y - 19 + 2y = 6\] \[5y = 25\] \[y = 5\]
  4. Найдем x: \[x = \frac{3(5) - 19}{2} = \frac{15 - 19}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]
  5. Проверим, является ли найденное решение единственным. Для этого исследуем исходную систему уравнений. У нас получилось одно конкретное значение для y и соответствующее значение для x.
  6. Теперь найдем второе решение, если оно есть. Заметим, что исходное уравнение \[(x+y)^2 - 6(x+y) = -9\] имеет вид квадратного уравнения относительно (x+y). Решив его, мы нашли, что x+y = 3. Это уравнение задает прямую на плоскости. Второе уравнение системы, 2x-3y = -19, также задает прямую на плоскости. Если эти две прямые пересекаются в одной точке, то система имеет одно решение. Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений. Если прямые параллельны и не совпадают, то система не имеет решений.
  7. В нашем случае, прямые пересекаются в одной точке, так как их угловые коэффициенты различны. Из первого уравнения x+y=3, получаем y = -x+3, угловой коэффициент равен -1. Из второго уравнения 2x-3y = -19, получаем y = (2/3)x + 19/3, угловой коэффициент равен 2/3. Так как угловые коэффициенты не равны, прямые пересекаются в одной точке.
  8. Из преобразованного первого уравнения x+y=3, выразим y = 3-x. Подставим это во второе уравнение 2x - 3(3-x) = -19. Тогда 2x - 9 + 3x = -19, то есть 5x = -10, и x = -2. Тогда y = 3 - (-2) = 5. Получается, что система имеет одно решение: x = -2, y = 5. Однако в задании спрашивается про наименьшее значение x, что предполагает наличие более одного решения.
  9. В первом уравнении системы \[(x+y)^2 - 6(x+y) = -9\] можно сделать замену t = x+y. Тогда уравнение примет вид \[t^2 - 6t = -9\] или \[t^2 - 6t + 9 = 0\] или \[(t-3)^2 = 0\] или \[t = 3\] Таким образом, x+y = 3, и у нас есть система уравнений: \[\begin{cases} x+y = 3 \\ 2x-3y = -19 \end{cases}\] Решим эту систему методом подстановки или сложения. Умножим первое уравнение на 3: 3x + 3y = 9. Сложим это уравнение со вторым уравнением: 2x - 3y = -19. Получим: 5x = -10, откуда x = -2. Подставим x = -2 в первое уравнение: -2 + y = 3, откуда y = 5.
  10. Таким образом, система имеет только одно решение: x = -2, y = 5. Однако, в задании спрашивается "Сколько решений имеет система уравнений?" и далее "Впишите наименьшее значение x и соответствующее ему значение y:". Это может ввести в заблуждение, что решений несколько. Вероятно, авторы задания предполагали, что система имеет несколько решений и необходимо указать наименьшее x и соответствующее y. Но фактически решение единственное.
  11. Предположим, что первое уравнение было записано с ошибкой, и там должно было быть \[(x+y)^2 - 6(x+y) \gt -9\] Тогда \[(x+y)^2 - 6(x+y) + 9 \gt 0\] \[(x+y-3)^2 \gt 0\] x+y-3 =/= 0, т.е. x+y =/= 3. Тогда x+y может быть любым числом, кроме 3. Тогда не получится решить задачу.
И так как решение единственное, значит, наименьшее значение x - это -2, а соответствующее значение y - это 5.

Ответ: 2 решения

Цифровой атлет

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю