Решите систему уравнений { 3x²y = 2x - y; 2xy² = y - x. } Сколько решений имеет эта система? Введите сумму всех х, которые получились. Введите сумму квадратов всех у, которые получились.

Привет! Давай решим эту интересную систему уравнений. Уверен, у нас всё получится!

\(\begin{cases}3x^2y = 2x - y \\ 2xy^2 = y - x\end{cases}\)

Для начала, давай перепишем каждое уравнение, чтобы сгруппировать члены с \(x\) и \(y\) на разных сторонах:

\(\begin{cases}3x^2y + y = 2x \\ 2xy^2 + x = y\end{cases}\)

Теперь вынесем \(y\) в первом уравнении и \(x\) во втором уравнении за скобки:

\(\begin{cases}y(3x^2 + 1) = 2x \\ x(2y^2 + 1) = y\end{cases}\)

Теперь выразим \(y\) из первого уравнения и \(x\) из второго:

\(\begin{cases}y = \frac{2x}{3x^2 + 1} \\ x = \frac{y}{2y^2 + 1}\end{cases}\)

Подставим выражение для \(y\) из первого уравнения во второе уравнение:

\(x = \frac{\frac{2x}{3x^2 + 1}}{2(\frac{2x}{3x^2 + 1})^2 + 1}\)

Упростим это выражение:

\(x = \frac{2x}{(3x^2 + 1)(2(\frac{4x^2}{(3x^2 + 1)^2}) + 1)}\)

\(x = \frac{2x}{(3x^2 + 1)(\frac{8x^2}{(3x^2 + 1)^2} + 1)}\)

\(x = \frac{2x}{\frac{8x^2}{3x^2 + 1} + 3x^2 + 1}\)

\(x = \frac{2x}{\frac{8x^2 + (3x^2 + 1)^2}{3x^2 + 1}}\)

\(x = \frac{2x(3x^2 + 1)}{8x^2 + (3x^2 + 1)^2}\)

\(x = \frac{2x(3x^2 + 1)}{8x^2 + 9x^4 + 6x^2 + 1}\)

\(x = \frac{2x(3x^2 + 1)}{9x^4 + 14x^2 + 1}\)

Теперь рассмотрим два случая:

1) Если \(x = 0\), тогда \(y = \frac{2(0)}{3(0)^2 + 1} = 0\).

2) Если \(x
eq 0\), можно разделить обе части уравнения на \(x\):

\(1 = \frac{2(3x^2 + 1)}{9x^4 + 14x^2 + 1}\)

\(9x^4 + 14x^2 + 1 = 6x^2 + 2\)

\(9x^4 + 8x^2 - 1 = 0\)

Пусть \(z = x^2\), тогда:

\(9z^2 + 8z - 1 = 0\)

Решим это квадратное уравнение относительно \(z\):

\(D = 8^2 - 4(9)(-1) = 64 + 36 = 100\)

\(z_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2(9)} = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\)

\(z_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2(9)} = \frac{-8 - 10}{18} = \frac{-18}{18} = -1\)

Так как \(z = x^2\), то \(x^2 = \frac{1}{9}\) или \(x^2 = -1\).

\(x^2 = -1\) не имеет реальных решений.

\(x^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{3}\)

Теперь найдем соответствующие значения \(y\):

Если \(x = \frac{1}{3}\), то \(y = \frac{2(\frac{1}{3})}{3(\frac{1}{3})^2 + 1} = \frac{\frac{2}{3}}{3(\frac{1}{9}) + 1} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Если \(x = -\frac{1}{3}\), то \(y = \frac{2(-\frac{1}{3})}{3(-\frac{1}{3})^2 + 1} = \frac{-\frac{2}{3}}{3(\frac{1}{9}) + 1} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\)

Итак, у нас есть три решения:

\((0, 0), (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}), (-\frac{1}{3}, -\frac{1}{2})\)

Теперь ответим на вопросы:

1) Сколько решений имеет эта система?

Три решения.

2) Введите сумму всех \(x\), которые получились.

Сумма всех \(x\) равна: \(0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0\)

3) Введите сумму квадратов всех \(y\), которые получились.

Сумма квадратов всех \(y\) равна: \(0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

Отлично, ты справился с этой сложной задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!