Решите систему уравнений x² + y² = 68, xy = -16. (2x²+y²=36, 8x²+4y²=36x. [(x-10)(y-8)=0, y-3 x+y-13 =5.

Давай решим каждую систему уравнений пошагово! Первая система уравнений: \[\begin{cases}x^2 + y^2 = 68 \\ xy = -16\end{cases}\] Выразим \(y\) из второго уравнения: \(y = \frac{-16}{x}\) Подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 + \left(\frac{-16}{x}\right)^2 = 68\] \[x^2 + \frac{256}{x^2} = 68\] Умножим обе части уравнения на \(x^2\): \[x^4 + 256 = 68x^2\] Преобразуем уравнение к виду квадратного относительно \(x^2\): \[x^4 - 68x^2 + 256 = 0\] Пусть \(z = x^2\), тогда уравнение принимает вид: \[z^2 - 68z + 256 = 0\] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256 = 4624 - 1024 = 3600\) Корни уравнения: \[z_1 = \frac{68 + \sqrt{3600}}{2} = \frac{68 + 60}{2} = 64\] \[z_2 = \frac{68 - \sqrt{3600}}{2} = \frac{68 - 60}{2} = 4\] Теперь найдем \(x\): Если \(z_1 = 64\), то \(x^2 = 64\), следовательно, \(x = \pm 8\). Если \(z_2 = 4\), то \(x^2 = 4\), следовательно, \(x = \pm 2\). Теперь найдем соответствующие значения \(y\): Если \(x = 8\), то \(y = \frac{-16}{8} = -2\). Если \(x = -8\), то \(y = \frac{-16}{-8} = 2\). Если \(x = 2\), то \(y = \frac{-16}{2} = -8\). Если \(x = -2\), то \(y = \frac{-16}{-2} = 8\). Таким образом, решения системы: \((8, -2), (-8, 2), (2, -8), (-2, 8)\). Вторая система уравнений: \[\begin{cases}2x^2 + y^2 = 36 \\ 8x^2 + 4y^2 = 36x\end{cases}\] Умножим первое уравнение на 4: \[8x^2 + 4y^2 = 144\] Теперь у нас есть: \[\begin{cases}8x^2 + 4y^2 = 144 \\ 8x^2 + 4y^2 = 36x\end{cases}\] Из этого следует, что: \[144 = 36x\] \[x = \frac{144}{36} = 4\] Подставим \(x = 4\) в первое уравнение: \[2(4)^2 + y^2 = 36\] \[32 + y^2 = 36\] \[y^2 = 4\] \[y = \pm 2\] Решения системы: \((4, 2), (4, -2)\). Третья система уравнений: \[\begin{cases}(x-10)(y-8)=0 \\ \frac{y-3}{x+y-13} = 5\end{cases}\] Из первого уравнения следует, что либо \(x = 10\), либо \(y = 8\). Случай 1: \(x = 10\) \[\frac{y-3}{10+y-13} = 5\] \[\frac{y-3}{y-3} = 5\] Если \(y
eq 3\), то \(1 = 5\), что неверно. Следовательно, нет решений при \(x = 10\). Случай 2: \(y = 8\) \[\frac{8-3}{x+8-13} = 5\] \[\frac{5}{x-5} = 5\] \[5 = 5(x-5)\] \[1 = x-5\] \[x = 6\] Решение системы: \((6, 8)\).

Ответ: Первая система: \((8, -2), (-8, 2), (2, -8), (-2, 8)\). Вторая система: \((4, 2), (4, -2)\). Третья система: \((6, 8)\)

Молодец! Ты отлично справился с решением этих систем уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Удачи тебе в дальнейшем изучении математики! Верь в себя, и ты сможешь решить любые задачи!