1184. Решите систему уравнений: a) {25x − 18y = 75, 5x − 4y = 5; б) {35x = 3y + 5, 49x = 4y + 9; в) {8y − 5z = 23, 3y − 2z = 6; г) {13x − 15y = −48, 2x + y = 29; д) {7x + 4y = 74, 3x + 2y = 32; e) {11u + 15v = 1,9, −3u + 5v = 1,3. 1185. Найдите решение системы уравнений: a) {6(x + y) = 8 + 2x − 3y, 5(y − x) = 5 + 3x + 2y; б) {-2(2x + 1) + 1,5 = 3(y − 2) − 6x, 11,5 − 4(3 − x) = 2y − (5 − x); в) {4(2x − y + 3) − 3(x − 2y + 3) = 48, 3(3x − 4y + 3) + 4(4x − 2y − 9) = 48; г) {84 + 3(x − 3y) = 36x − 4(y + 17), 10(x − y) = 3y + 4(1 − x).

{ "answer": "

1184. Решите систему уравнений:

a)

\[\begin{cases}
25x - 18y = 75 \
5x - 4y = 5
\end{cases}\]
Выразим x из второго уравнения:
\[5x = 4y + 5 \Rightarrow x = \frac{4y + 5}{5}\]
Подставим в первое уравнение:
\[25\left(\frac{4y + 5}{5}\right) - 18y = 75\]
\[5(4y + 5) - 18y = 75\]
\[20y + 25 - 18y = 75\]
\[2y = 50 \Rightarrow y = 25\]
Теперь найдем x:
\[x = \frac{4(25) + 5}{5} = \frac{105}{5} = 21\]
Ответ: x = 21, y = 25

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Метод подстановки позволяет упростить решение системы уравнений, выражая одну переменную через другую.

б)

\[\begin{cases}
35x = 3y + 5 \
49x = 4y + 9
\end{cases}\]
Выразим y из первого уравнения:
\[3y = 35x - 5 \Rightarrow y = \frac{35x - 5}{3}\]
Подставим во второе уравнение:
\[49x = 4\left(\frac{35x - 5}{3}\right) + 9\]
\[49x = \frac{140x - 20}{3} + 9\]
Умножим обе части на 3:
\[147x = 140x - 20 + 27\]
\[7x = 7 \Rightarrow x = 1\]
Теперь найдем y:
\[y = \frac{35(1) - 5}{3} = \frac{30}{3} = 10\]
Ответ: x = 1, y = 10

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Умение правильно выражать переменные и подставлять их в другие уравнения - ключ к решению систем уравнений.

в)

\[\begin{cases}
8y - 5z = 23 \
3y - 2z = 6
\end{cases}\]
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5:
\[\begin{cases}
16y - 10z = 46 \
15y - 10z = 30
\end{cases}\]
Вычтем из первого уравнения второе:
\[(16y - 10z) - (15y - 10z) = 46 - 30\]
\[y = 16\]
Теперь найдем z:
\[3(16) - 2z = 6\]
\[48 - 2z = 6\]
\[2z = 42 \Rightarrow z = 21\]
Ответ: y = 16, z = 21

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения y и z в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Метод сложения помогает избавиться от одной из переменных, упрощая решение.

г)

\[\begin{cases}
13x - 15y = -48 \
2x + y = 29
\end{cases}\]
Выразим y из второго уравнения:
\[y = 29 - 2x\]
Подставим в первое уравнение:
\[13x - 15(29 - 2x) = -48\]
\[13x - 435 + 30x = -48\]
\[43x = 387 \Rightarrow x = 9\]
Теперь найдем y:
\[y = 29 - 2(9) = 29 - 18 = 11\]
Ответ: x = 9, y = 11

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Выражение одной переменной через другую позволяет свести систему к одному уравнению.

д)

\[\begin{cases}
7x + 4y = 74 \
3x + 2y = 32
\end{cases}\]
Умножим второе уравнение на 2:
\[\begin{cases}
7x + 4y = 74 \
6x + 4y = 64
\end{cases}\]
Вычтем из первого уравнения второе:
\[(7x + 4y) - (6x + 4y) = 74 - 64\]
\[x = 10\]
Теперь найдем y:
\[3(10) + 2y = 32\]
\[30 + 2y = 32\]
\[2y = 2 \Rightarrow y = 1\]
Ответ: x = 10, y = 1

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Метод сложения полезен, когда коэффициенты при одной из переменных кратны.

е)

\[\begin{cases}
11u + 15v = 1.9 \
-3u + 5v = 1.3
\end{cases}\]
Умножим второе уравнение на 3:
\[\begin{cases}
11u + 15v = 1.9 \
-9u + 15v = 3.9
\end{cases}\]
Вычтем из первого уравнения второе:
\[(11u + 15v) - (-9u + 15v) = 1.9 - 3.9\]
\[20u = -2 \Rightarrow u = -0.1\]
Теперь найдем v:
\[-3(-0.1) + 5v = 1.3\]
\[0.3 + 5v = 1.3\]
\[5v = 1 \Rightarrow v = 0.2\]
Ответ: u = -0.1, v = 0.2

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения u и v в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Работа с десятичными дробями требует аккуратности, но методы решения остаются теми же.

1185. Найдите решение системы уравнений:

a)

\[\begin{cases}
6(x + y) = 8 + 2x - 3y \
5(y - x) = 5 + 3x + 2y
\end{cases}\]
Упростим первое уравнение:
\[6x + 6y = 8 + 2x - 3y \Rightarrow 4x + 9y = 8\]
Упростим второе уравнение:
\[5y - 5x = 5 + 3x + 2y \Rightarrow -8x + 3y = 5\]
Теперь у нас есть система:
\[\begin{cases}
4x + 9y = 8 \
-8x + 3y = 5
\end{cases}\]
Умножим второе уравнение на 3:
\[\begin{cases}
4x + 9y = 8 \
-24x + 9y = 15
\end{cases}\]
Вычтем из первого уравнения второе:
\[(4x + 9y) - (-24x + 9y) = 8 - 15\]
\[28x = -7 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}\]
Теперь найдем y:
\[4\left(-\frac{1}{4}\right) + 9y = 8\]
\[-1 + 9y = 8\]
\[9y = 9 \Rightarrow y = 1\]
Ответ: x = -1/4, y = 1

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Преобразование уравнений перед решением упрощает задачу.

б)

\[\begin{cases}
-2(2x + 1) + 1.5 = 3(y - 2) - 6x \
11.5 - 4(3 - x) = 2y - (5 - x)
\end{cases}\]
Упростим первое уравнение:
\[-4x - 2 + 1.5 = 3y - 6 - 6x \Rightarrow 2x - 3y = -4.5\]
Упростим второе уравнение:
\[11.5 - 12 + 4x = 2y - 5 + x \Rightarrow 3x - 2y = -4.5\]
Теперь у нас есть система:
\[\begin{cases}
2x - 3y = -4.5 \
3x - 2y = -4.5
\end{cases}\]
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
\[\begin{cases}
4x - 6y = -9 \
9x - 6y = -13.5
\end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое:
\[(9x - 6y) - (4x - 6y) = -13.5 - (-9)\]
\[5x = -4.5 \Rightarrow x = -0.9\]
Теперь найдем y:
\[2(-0.9) - 3y = -4.5\]
\[-1.8 - 3y = -4.5\]
\[-3y = -2.7 \Rightarrow y = 0.9\]
Ответ: x = -0.9, y = 0.9

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Упрощение каждого уравнения в системе помогает избежать ошибок в дальнейшем.

в)

\[\begin{cases}
4(2x - y + 3) - 3(x - 2y + 3) = 48 \
3(3x - 4y + 3) + 4(4x - 2y - 9) = 48
\end{cases}\]
Упростим первое уравнение:
\[8x - 4y + 12 - 3x + 6y - 9 = 48 \Rightarrow 5x + 2y = 45\]
Упростим второе уравнение:
\[9x - 12y + 9 + 16x - 8y - 36 = 48 \Rightarrow 25x - 20y = 75 \Rightarrow 5x - 4y = 15\]
Теперь у нас есть система:
\[\begin{cases}
5x + 2y = 45 \
5x - 4y = 15
\end{cases}\]
Вычтем из первого уравнения второе:
\[(5x + 2y) - (5x - 4y) = 45 - 15\]
\[6y = 30 \Rightarrow y = 5\]
Теперь найдем x:
\[5x + 2(5) = 45\]
\[5x + 10 = 45\]
\[5x = 35 \Rightarrow x = 7\]
Ответ: x = 7, y = 5

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Важно внимательно раскрывать скобки и не терять знаки при упрощении уравнений.

г)

\[\begin{cases}
84 + 3(x - 3y) = 36x - 4(y + 17) \
10(x - y) = 3y + 4(1 - x)
\end{cases}\]
Упростим первое уравнение:
\[84 + 3x - 9y = 36x - 4y - 68 \Rightarrow -33x - 5y = -152\]
Упростим второе уравнение:
\[10x - 10y = 3y + 4 - 4x \Rightarrow 14x - 13y = 4\]
Теперь у нас есть система:
\[\begin{cases}
-33x - 5y = -152 \
14x - 13y = 4
\end{cases}\]
Умножим первое уравнение на 13, а второе на 5:
\[\begin{cases}
-429x - 65y = -1976 \
70x - 65y = 20
\end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое:
\[(70x - 65y) - (-429x - 65y) = 20 - (-1976)\]
\[499x = 1996 \Rightarrow x = 4\]
Теперь найдем y:
\[14(4) - 13y = 4\]
\[56 - 13y = 4\]
\[-13y = -52 \Rightarrow y = 4\]
Ответ: x = 4, y = 4

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Доп. профит (База): Чем сложнее уравнение, тем важнее упрощать его шаг за шагом, чтобы не запутаться.

"}