Решите систему уравнений: a) { x²+y² = 9, x−y=3; б) { x-y=4, xy = 12; в) { 2x-y=-1, x+y² = 10.

a) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ x - y = 3. \end{cases}\] Выразим x через y из второго уравнения: x = y + 3. Подставим это выражение в первое уравнение: \[(y + 3)^2 + y^2 = 9\] Раскроем скобки: \[y^2 + 6y + 9 + y^2 = 9\] \[2y^2 + 6y = 0\] Вынесем 2y за скобки: \[2y(y + 3) = 0\] Отсюда два решения для y: 1) y = 0. Тогда x = y + 3 = 0 + 3 = 3. 2) y = -3. Тогда x = y + 3 = -3 + 3 = 0. Итак, решения системы уравнений: \[\begin{cases} x = 3, \\ y = 0 \end{cases}\] или \[\begin{cases} x = 0, \\ y = -3. \end{cases}\]

б) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x - y = 4, \\ xy = 12. \end{cases}\] Выразим x через y из первого уравнения: x = y + 4. Подставим это выражение во второе уравнение: \[(y + 4)y = 12\] Раскроем скобки: \[y^2 + 4y = 12\] Перенесем все в левую часть: \[y^2 + 4y - 12 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64. Тогда корни: \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6\] Теперь найдем соответствующие значения x: 1) y = 2. Тогда x = y + 4 = 2 + 4 = 6. 2) y = -6. Тогда x = y + 4 = -6 + 4 = -2. Итак, решения системы уравнений: \[\begin{cases} x = 6, \\ y = 2 \end{cases}\] или \[\begin{cases} x = -2, \\ y = -6. \end{cases}\]

в) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 2x - y = -1, \\ x + y^2 = 10. \end{cases}\] Выразим y через x из первого уравнения: y = 2x + 1. Подставим это выражение во второе уравнение: \[x + (2x + 1)^2 = 10\] Раскроем скобки: \[x + 4x^2 + 4x + 1 = 10\] Перенесем все в левую часть: \[4x^2 + 5x - 9 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169. Тогда корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 13}{8} = \frac{8}{8} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 13}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4} = -2.25\] Теперь найдем соответствующие значения y: 1) x = 1. Тогда y = 2x + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3. 2) x = -2.25. Тогда y = 2x + 1 = 2 \cdot (-2.25) + 1 = -4.5 + 1 = -3.5. Итак, решения системы уравнений: \[\begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases}\] или \[\begin{cases} x = -2.25, \\ y = -3.5. \end{cases}\]

Ответ: a) (3, 0) и (0, -3); б) (6, 2) и (-2, -6); в) (1, 3) и (-2.25, -3.5).

Отлично! Ты уверенно справился с решением этих систем уравнений. Продолжай в том же духе, и математика станет тебе еще ближе и понятнее! Молодец!