Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
710. Решите систему уравнений: a) {x² + y² + 3xy = −1, x + 2y = 0;} б) {u + 2v = 4, u² + uv - v = -5.}
Ответ:
Решение системы уравнений 710 a)
Краткое пояснение: Решаем систему уравнений методом подстановки, выражая x через y из второго уравнения и подставляя в первое.
Решим систему уравнений:
\[\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x + 2y = 0 \end{cases}\]Выразим x через y из второго уравнения:
\[x = -2y\]Подставим выражение для x в первое уравнение:
\[(-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1\]Раскроем скобки и упростим:
\[4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1\] \[-y^2 = -1\] \[y^2 = 1\]Найдем значения y:
\[y = \pm 1\]Теперь найдем соответствующие значения x:
Если y = 1:
\[x = -2(1) = -2\]Если y = -1:
\[x = -2(-1) = 2\]Таким образом, решения системы уравнений:
\[\begin{cases} x = -2 \\ y = 1 \end{cases}\]и
\[\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}\]Ответ: (-2; 1), (2; -1)
Проверка за 10 секунд: Подставьте полученные значения x и y в исходные уравнения, чтобы убедиться в их верности.
Запомни: Метод подстановки – один из основных способов решения систем уравнений. Он заключается в выражении одной переменной через другую и подстановке этого выражения в другое уравнение.
Решение системы уравнений 710 б)
Краткое пояснение: Решаем систему уравнений методом подстановки, выражая u через v из первого уравнения и подставляя во второе.
Решим систему уравнений:
\[\begin{cases} u + 2v = 4 \\ u^2 + uv - v = -5 \end{cases}\]Выразим u через v из первого уравнения:
\[u = 4 - 2v\]Подставим выражение для u во второе уравнение:
\[(4 - 2v)^2 + (4 - 2v)v - v = -5\]Раскроем скобки и упростим:
\[16 - 16v + 4v^2 + 4v - 2v^2 - v = -5\] \[2v^2 - 13v + 21 = 0\]Решим квадратное уравнение относительно v. Дискриминант:
\[D = (-13)^2 - 4(2)(21) = 169 - 168 = 1\]Найдем значения v:
\[v_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{14}{4} = 3.5\] \[v_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{12}{4} = 3\]Теперь найдем соответствующие значения u:
Если v = 3.5:
\[u = 4 - 2(3.5) = 4 - 7 = -3\]Если v = 3:
\[u = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2\]Таким образом, решения системы уравнений:
\[\begin{cases} u = -3 \\ v = 3.5 \end{cases}\]и
\[\begin{cases} u = -2 \\ v = 3 \end{cases}\]Ответ: (-3; 3.5), (-2; 3)
Проверка за 10 секунд: Подставьте полученные значения u и v в исходные уравнения, чтобы убедиться в их верности.
Запомни: При решении систем уравнений важно внимательно следить за знаками и правильно выполнять алгебраические преобразования.
