2. Решите систему уравнений способом подстановки: a) { x-y=1, y²-x = 41;} б) { x+y = -8, xy-y² = 6.}

Сейчас решим системы уравнений способом подстановки. Разберем каждый пункт отдельно.

a) \[\begin{cases} x - y = 1 \\ y^2 - x = 41 \end{cases}\] Выразим x через y из первого уравнения: \[x = y + 1\] Подставим это выражение во второе уравнение: \[y^2 - (y + 1) = 41\] \[y^2 - y - 1 = 41\] \[y^2 - y - 42 = 0\] Решаем квадратное уравнение: Дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169\] Корень из дискриминанта: \[\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13\] Корни уравнения: \[y_1 = \frac{-(-1) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[y_2 = \frac{-(-1) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6\] Теперь найдем x: Если \[y_1 = 7\], то \[x_1 = 7 + 1 = 8\] Если \[y_2 = -6\], то \[x_2 = -6 + 1 = -5\] Ответ: \[(x_1; y_1) = (8; 7), (x_2; y_2) = (-5; -6)\] б) \[\begin{cases} x + y = -8 \\ xy - y^2 = 6 \end{cases}\] Выразим x через y из первого уравнения: \[x = -8 - y\] Подставим это выражение во второе уравнение: \[(-8 - y)y - y^2 = 6\] \[-8y - y^2 - y^2 = 6\] \[-2y^2 - 8y - 6 = 0\] Разделим на -2: \[y^2 + 4y + 3 = 0\] Решаем квадратное уравнение: Дискриминант: \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\] Корень из дискриминанта: \[\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2\] Корни уравнения: \[y_1 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1\] \[y_2 = \frac{-4 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3\] Теперь найдем x: Если \[y_1 = -1\], то \[x_1 = -8 - (-1) = -8 + 1 = -7\] Если \[y_2 = -3\], то \[x_2 = -8 - (-3) = -8 + 3 = -5\] Ответ: \[(x_1; y_1) = (-7; -1), (x_2; y_2) = (-5; -3)\]