3.152. Решите систему уравнений, используя графический метод: a) 2 2 x² + y² = 4, ⑧ x + y = 2; [x² x²+ + y² = = 9, б) (x - 4)² + y² = 25.

Задание:

Решите систему уравнений, используя графический метод:

а) \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = 2; \end{cases}\]

б) \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ (x - 4)^2 + y^2 = 25. \end{cases}\]

Решение:

а)

Первое уравнение \[x^2 + y^2 = 4\] представляет собой окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r = 2.

Второе уравнение \[x + y = 2\] можно переписать как \[y = 2 - x\], что является прямой линией.

Подставим \[y = 2 - x\] в уравнение окружности:

\[x^2 + (2 - x)^2 = 4\]

\[x^2 + 4 - 4x + x^2 = 4\]

\[2x^2 - 4x = 0\]

\[2x(x - 2) = 0\]

Отсюда находим два значения для x:

\[x_1 = 0\]

\[x_2 = 2\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для \[x_1 = 0\]: \[y_1 = 2 - 0 = 2\]

Для \[x_2 = 2\]: \[y_2 = 2 - 2 = 0\]

Таким образом, решения системы уравнений в случае (а): (0, 2) и (2, 0).

б)

Первое уравнение \[x^2 + y^2 = 9\] представляет собой окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r = 3.

Второе уравнение \[(x - 4)^2 + y^2 = 25\] представляет собой окружность с центром в точке (4, 0) и радиусом R = 5.

Выразим \[y^2\] из первого уравнения: \[y^2 = 9 - x^2\]

Подставим это во второе уравнение:

\[(x - 4)^2 + 9 - x^2 = 25\]

\[x^2 - 8x + 16 + 9 - x^2 = 25\]

\[-8x + 25 = 25\]

\[-8x = 0\]

\[x = 0\]

Теперь найдем соответствующее значение y:

\[y^2 = 9 - 0^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

Таким образом, решения системы уравнений в случае (б): (0, 3) и (0, -3).

Ответ: а) (0, 2), (2, 0); б) (0, 3), (0, -3)

Молодец! Ты отлично справился с заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!