Решите систему уравнений и выпишите в ответ произведение ху: { 3^{-x} \cdot 7^{-y} = 147 { 7^{-x} \cdot 3^{-y} = 63

Привет! Давай вместе разберем эту систему уравнений. Это как квест, где нам нужно найти x и y, а потом перемножить их.

Вот наша система:

• \[ \begin{cases} 3^{-x} \cdot 7^{-y} = 147 \\ 7^{-x} \cdot 3^{-y} = 63 \end{cases} \]

Шаг 1: Умножим уравнения друг на друга

Это наш секретный ход! Когда мы умножим левые части и правые части уравнений, у нас получится:

• \[ (3^{-x} \cdot 7^{-y}) \cdot (7^{-x} \cdot 3^{-y}) = 147 \cdot 63 \]

Теперь сгруппируем основания:

• \[ (3^{-x} \cdot 3^{-y}) \cdot (7^{-y} \cdot 7^{-x}) = 9261 \]

По правилам степеней, при умножении одинаковых оснований, показатели складываются:

• \[ 3^{-x-y} \cdot 7^{-y-x} = 9261 \]
• \[ 3^{-(x+y)} \cdot 7^{-(x+y)} = 9261 \]

Можно вынести общий показатель степени:

• \[ (3 \cdot 7)^{-(x+y)} = 9261 \]
• \[ 21^{-(x+y)} = 9261 \]

Нам нужно понять, какой степенью является 9261. Давайте разложим 147 и 63 на множители:

• 147 = 3 * 49 = 3 * 7^2
• 63 = 9 * 7 = 3^2 * 7

Значит, 147 * 63 = (3 * 7^2) * (3^2 * 7) = 3^3 * 7^3 = (3*7)^3 = 21^3.

Теперь наше уравнение выглядит так:

• \[ 21^{-(x+y)} = 21^3 \]

Так как основания одинаковые, то и показатели степени равны:

• \[ -(x+y) = 3 \]
• \[ x+y = -3 \]

Шаг 2: Разделим первое уравнение на второе

Это еще один хитрый ход, чтобы найти разность степеней.

• \[ \frac{3^{-x} \cdot 7^{-y}}{7^{-x} \cdot 3^{-y}} = \frac{147}{63} \]

Упрощаем левую часть, используя правило деления степеней (вычитаем показатели):

• \[ 3^{-x - (-y)} \cdot 7^{-y - (-x)} = \frac{147}{63} \]
• \[ 3^{-x+y} \cdot 7^{-y+x} = \frac{147}{63} \]
• \[ 3^{-(x-y)} \cdot 7^{x-y} = \frac{147}{63} \]

Справа тоже упростим дробь. Оба числа делятся на 21:

• 147 / 21 = 7
• 63 / 21 = 3

Значит, дробь равна 7/3.

• \[ 3^{-(x-y)} \cdot 7^{x-y} = \frac{7}{3} \]

Перепишем правую часть:

• \[ \frac{7}{3} = 7^1 \cdot 3^{-1} \]

А левую часть можно записать так:

• \[ \frac{7^{x-y}}{3^{x-y}} = \frac{7}{3} \]

Сравнивая обе части, мы видим, что показатели степени должны быть равны:

• \[ x-y = 1 \]

Шаг 3: Найдем x и y

У нас получилась новая, простая система уравнений:

• \[ \begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = 1 \end{cases} \]

Сложим эти два уравнения:

• \[ (x+y) + (x-y) = -3 + 1 \]
• \[ 2x = -2 \]
• \[ x = -1 \]

Теперь подставим значение x в первое уравнение:

• \[ -1 + y = -3 \]
• \[ y = -3 + 1 \]
• \[ y = -2 \]

Шаг 4: Вычислим произведение xy

Мы нашли x = -1 и y = -2. Теперь перемножим их:

• \[ x \cdot y = (-1) \cdot (-2) = 2 \]

Ответ: 2