Решите систему уравнений:{\(\displaystyle\) \(\begin{cases}\) x-y=1 \\ 4^{2x-3y}=1 \(\end{cases}\)}

Решение:

Данная система уравнений состоит из двух уравнений:

1. \( x - y = 1 \)
2. \( 4^{2x-3y} = 1 \)

Рассмотрим второе уравнение. Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен 0:

\( 2x - 3y = 0 \)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

\( \begin{cases} x - y = 1 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( x \) через \( y \):

\( x = y + 1 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 2(y + 1) - 3y = 0 \)

Раскроем скобки:

\( 2y + 2 - 3y = 0 \)

Приведём подобные члены:

\( -y + 2 = 0 \)

\( -y = -2 \)

\( y = 2 \)

Теперь найдём \( x \), подставив значение \( y \) в выражение \( x = y + 1 \):

\( x = 2 + 1 \)

\( x = 3 \)

Проверим полученные значения в исходной системе:

Первое уравнение: \( 3 - 2 = 1 \) (Верно)

Второе уравнение: \( 4^{2 \cdot 3 - 3 \cdot 2} = 4^{6 - 6} = 4^0 = 1 \) (Верно)

Ответ: \( x = 3, y = 2 \).