Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{1,5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3 \\ \frac{2,5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0,5 \end{cases}\)

Решение:

Данная система уравнений:

\(\begin{cases} \frac{1,5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3 \\ \frac{2,5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0,5 \end{cases}\)

Шаг 1: Упростим первое уравнение.

Приведём дроби к общему знаменателю 24:

\[ \frac{8(1,5x - 3)}{24} + \frac{3(7 - 3y)}{24} = \frac{3 \cdot 24}{24} \]

\[ 8(1,5x - 3) + 3(7 - 3y) = 72 \]

\[ 12x - 24 + 21 - 9y = 72 \]

\[ 12x - 9y - 3 = 72 \]

\[ 12x - 9y = 75 \]

Разделим обе части на 3:

\[ 4x - 3y = 25 \]

Выразим \( y \) через \( x \):

\[ -3y = 25 - 4x \]

\[ y = \frac{4x - 25}{3} \]

Шаг 2: Упростим второе уравнение.

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

\[ \frac{2(2,5x - 2)}{6} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0,5 \]

\[ 2(2,5x - 2) - (2y + 1) = 6(x - 0,5) \]

\[ 5x - 4 - 2y - 1 = 6x - 3 \]

\[ 5x - 2y - 5 = 6x - 3 \]

Перенесём члены с \( x \) и \( y \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ -2y - x = 5 - 3 \]

\[ -2y - x = 2 \]

Шаг 3: Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе.

\[ -2\left(\frac{4x - 25}{3}\right) - x = 2 \]

Умножим обе части на 3:

\[ -2(4x - 25) - 3x = 6 \]

\[ -8x + 50 - 3x = 6 \]

\[ -11x = 6 - 50 \]

\[ -11x = -44 \]

\[ x = \frac{-44}{-11} \]

\[ x = 4 \]

Шаг 4: Найдем значение \( y \), подставив \( x = 4 \) в выражение для \( y \).

\[ y = \frac{4(4) - 25}{3} = \frac{16 - 25}{3} = \frac{-9}{3} \]

\[ y = -3 \]

Шаг 5: Проверим решение.

Подставим \( x = 4 \) и \( y = -3 \) в исходные уравнения.

Первое уравнение:

\[ \frac{1,5(4) - 3}{3} + \frac{7 - 3(-3)}{8} = \frac{6 - 3}{3} + \frac{7 + 9}{8} = \frac{3}{3} + \frac{16}{8} = 1 + 2 = 3 \]

Второе уравнение:

\[ \frac{2,5(4) - 2}{3} - \frac{2(-3) + 1}{6} = \frac{10 - 2}{3} - \frac{-6 + 1}{6} = \frac{8}{3} - \frac{-5}{6} = \frac{16}{6} + \frac{5}{6} = \frac{21}{6} = 3,5 \]

Сравним с правой частью второго уравнения: \( x - 0,5 = 4 - 0,5 = 3,5 \).

Решение верно.

Ответ: x = 4, y = -3.