Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 6 - 5(x - y) = 7x + 4y \\ 3(x + 1) - (6x + 8y) = 69 + 3y \end{cases}\)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Шаг 1: Упрощение первого уравнения

\( 6 - 5(x - y) = 7x + 4y \)

Раскроем скобки:

\( 6 - 5x + 5y = 7x + 4y \)

Перенесем члены с переменными в правую часть, а константу — в левую:

\( 6 = 7x + 5x + 4y - 5y \)

\( 6 = 12x - y \)

Приведем к стандартному виду Ax + By = C:

\( 12x - y = 6 \)

Шаг 2: Упрощение второго уравнения

\( 3(x + 1) - (6x + 8y) = 69 + 3y \)

Раскроем скобки:

\( 3x + 3 - 6x - 8y = 69 + 3y \)

Приведем подобные члены:

\( (3x - 6x) + (-8y) + 3 = 69 + 3y \)

\( -3x - 8y + 3 = 69 + 3y \)

Перенесем члены с переменными в левую часть, а константы — в правую:

\( -3x - 8y - 3y = 69 - 3 \)

\( -3x - 11y = 66 \)

Для удобства умножим обе части на -1:

\( 3x + 11y = -66 \)

Шаг 3: Решение системы уравнений методом подстановки

У нас получилась система:

\( \begin{cases} 12x - y = 6 \\ 3x + 11y = -66 \end{cases} \)

Выразим \( y \) из первого уравнения:

\( y = 12x - 6 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 3x + 11(12x - 6) = -66 \)

Раскроем скобки:

\( 3x + 132x - 66 = -66 \)

Приведем подобные члены:

\( 135x = -66 + 66 \)

\( 135x = 0 \)

\( x = 0 \)

Шаг 4: Нахождение значения \( y \)

Подставим найденное значение \( x = 0 \) в выражение для \( y \):

\( y = 12(0) - 6 \)

\( y = 0 - 6 \)

\( y = -6 \)

Шаг 5: Проверка решения

Подставим \( x = 0 \) и \( y = -6 \) в исходные упрощенные уравнения:

Первое уравнение: \( 12(0) - (-6) = 0 + 6 = 6 \). Верно.

Второе уравнение: \( 3(0) + 11(-6) = 0 - 66 = -66 \). Верно.

Ответ: \( x = 0, y = -6 \)