1. Решите систему уравнений [3x + y = 7, 2x² - y = 7 способом сложения. 2. Решите систему уравнений 4x - y = 2, x² + y²- xy = 3 способом подстановки. 3. Периметр прямоугольника равен 28 см, а его площадь равна 40 см². Найдите стороны прямоугольника. 4. Найдите двузначное число, которое в три раза больше суммы своих цифр. 5. Изобразите на координатной плоскости множество ре- шений неравенства (х + 1)² + (-2)2 ≤ 4. Вычислите площадь полученной фигуры. 6. Изобразите на координатной плоскости множество реше- ний системы неравенств x² + y² ≤ 16, y ≥ x. Найдите площадь полу- ченной фигуры.

1. Решите систему уравнений способом сложения:

\[\begin{cases} 3x + y = 7, \\ 2x^2 - y = 7 \end{cases}\] Сложим уравнения: \[3x + y + 2x^2 - y = 7 + 7\] \[2x^2 + 3x = 14\] \[2x^2 + 3x - 14 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5\] Найдем соответствующие значения y: Для x = 2: \[3 \cdot 2 + y = 7\] \[6 + y = 7\] \[y = 1\] Для x = -3.5: \[3 \cdot (-3.5) + y = 7\] \[-10.5 + y = 7\] \[y = 17.5\]

Ответ: (2; 1), (-3.5; 17.5)

---

2. Решите систему уравнений способом подстановки:

\[\begin{cases} 4x - y = 2, \\ x^2 + y^2 - xy = 3 \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \[y = 4x - 2\] Подставим y во второе уравнение: \[x^2 + (4x - 2)^2 - x(4x - 2) = 3\] \[x^2 + 16x^2 - 16x + 4 - 4x^2 + 2x = 3\] \[13x^2 - 14x + 1 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 1 = 196 - 52 = 144\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{144}}{2 \cdot 13} = \frac{14 + 12}{26} = \frac{26}{26} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{144}}{2 \cdot 13} = \frac{14 - 12}{26} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}\] Найдем соответствующие значения y: Для x = 1: \[y = 4 \cdot 1 - 2 = 4 - 2 = 2\] Для x = \frac{1}{13}: \[y = 4 \cdot \frac{1}{13} - 2 = \frac{4}{13} - \frac{26}{13} = -\frac{22}{13}\]

Ответ: (1; 2), (1/13; -22/13)

---

3. Периметр прямоугольника равен 28 см, а его площадь равна 40 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда: \[\begin{cases} 2(a + b) = 28, \\ ab = 40 \end{cases}\] \[\begin{cases} a + b = 14, \\ ab = 40 \end{cases}\] Выразим b из первого уравнения: \[b = 14 - a\] Подставим b во второе уравнение: \[a(14 - a) = 40\] \[14a - a^2 = 40\] \[a^2 - 14a + 40 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36\] \[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10\] \[a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Найдем соответствующие значения b: Для a = 10: \[b = 14 - 10 = 4\] Для a = 4: \[b = 14 - 4 = 10\]

Ответ: 10 см, 4 см

---

4. Найдите двузначное число, которое в три раза больше суммы своих цифр.

Пусть число имеет вид 10a + b, где a и b - цифры от 0 до 9. Тогда: \[10a + b = 3(a + b)\] \[10a + b = 3a + 3b\] \[7a = 2b\] Так как a и b - целые числа, то a должно быть четным. Рассмотрим варианты: Если a = 2, то b = 7, число 27. Проверим: 27 = 3(2 + 7) = 3 \cdot 9 = 27. Верно. Если a = 4, то b = 14, но b не может быть больше 9.

Ответ: 27

---

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства (х + 1)² + (у - 2)² ≤ 4. Вычислите площадь полученной фигуры.

Это круг с центром в точке (-1; 2) и радиусом 2. Площадь круга равна: \[S = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\]

Ответ: 4π

---

6. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств x² + y² ≤ 16, y ≥ x. Найдите площадь полученной фигуры.

Первое неравенство описывает круг с центром в начале координат и радиусом 4. Второе неравенство описывает полуплоскость выше прямой y = x. Таким образом, необходимо найти площадь сектора круга, ограниченного прямой y = x. Угол между прямой y = x и осью Ox равен 45 градусам, или \(\frac{\pi}{4}\) радиан. Так как y ≥ x, то рассматривается половина круга. Площадь полукруга равна \(\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 4^2 = 8\pi\). Площадь сектора составляет половину площади круга, так как y ≥ x делит круг пополам. \[S = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 4^2 = 8\pi\]

Ответ: 8π