30.8. Решите систему неравенств: B) { x²-10x+9≥ 0, x-1 ≤ 0; г) { 2x²-5x-18 ≤ 0, 4x + 8>0.

Решение:

B)

1. Решим первое неравенство:

\[x^2 - 10x + 9 \ge 0\]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[x^2 - 10x + 9 = 0\]

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\]

\[x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = 9\]

\[x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = 1\]

Неравенство имеет вид:

\[(x - 1)(x - 9) \ge 0\]

Решением неравенства является:

\[x \in (-\infty; 1] \cup [9; +\infty)\]

2. Решим второе неравенство:

\[x - 1 \le 0\]

\[x \le 1\]

\[x \in (-\infty; 1]\]

3. Найдем пересечение решений:

\[(-\infty; 1] \cup [9; +\infty) \cap (-\infty; 1] = (-\infty; 1]\]

Г)

1. Решим первое неравенство:

\[2x^2 - 5x - 18 \le 0\]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[2x^2 - 5x - 18 = 0\]

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169\]

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 13}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\]

\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 13}{4} = \frac{-8}{4} = -2\]

Неравенство имеет вид:

\[2(x + 2)(x - 4.5) \le 0\]

Решением неравенства является:

\[x \in [-2; 4.5]\]

2. Решим второе неравенство:

\[4x + 8 > 0\]

\[4x > -8\]

\[x > -2\]

\[x \in (-2; +\infty)\]

3. Найдем пересечение решений:

\[[-2; 4.5] \cap (-2; +\infty) = (-2; 4.5]\]