Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика2) Решите систему неравенств 5 (x + 1) - 9x - 3> -6(x + 2 2), 3(3 + 2x) < 7x - 2(x – 8). 3) Решите систему уравнений 3(x – 1) = 5(y + 1), 7x - 3y 5x - y 3 5 = - x + y 2 4) Решите уравнение 3х4 – 28x² + 9 = 0. №24.1) Найдите сумму первых шести членов геометрической про- грессии, если формула п-го её члена bn = 4 (0,5)~ - 1. V 2) Решите неравенство 1 + 4y 1-3y 3) Решите систему уравнений 1 1 x+y+x-y 3 4 = 2, x + y + x - y = 7. x-y № 4) Сравните значения выражений (0,7)-5 и (0,7)°.
Ответ:
2) Решение системы неравенств
Решим каждое неравенство системы отдельно:
-
Первое неравенство: \[5(x + 1) - 9x - 3 > -6(x + 2)\]
Показать решение
\[5x + 5 - 9x - 3 > -6x - 12\] \[-4x + 2 > -6x - 12\] \[2x > -14\] \[x > -7\] -
Второе неравенство: \[3(3 + 2x) < 7x - 2(x - 8)\]
Показать решение
\[9 + 6x < 7x - 2x + 16\] \[9 + 6x < 5x + 16\] \[x < 7\]
Объединяем решения: \[-7 < x < 7\]
Ответ: \[x \in (-7; 7)\]
3) Решение системы уравнений
Решим систему уравнений:
\[\begin{cases} 3(x - 1) = 5(y + 1) \\ \frac{7x - 3y}{5} = \frac{5x - y}{3} - \frac{x + y}{2} \end{cases}\]Показать решение
- Упростим первое уравнение: \[3x - 3 = 5y + 5\] \[3x = 5y + 8\] \[x = \frac{5y + 8}{3}\]
- Упростим второе уравнение: \[\frac{7x - 3y}{5} = \frac{5x - y}{3} - \frac{x + y}{2}\] Умножим обе части на 30 (общий знаменатель 5, 3 и 2): \[6(7x - 3y) = 10(5x - y) - 15(x + y)\] \[42x - 18y = 50x - 10y - 15x - 15y\] \[42x - 18y = 35x - 25y\] \[7x = -7y\] \[x = -y\]
- Подставим \[x = -y\] в первое уравнение: \[x = \frac{5y + 8}{3}\] \[-y = \frac{5y + 8}{3}\] \[-3y = 5y + 8\] \[-8y = 8\] \[y = -1\] Тогда \[x = -(-1) = 1\]
Ответ: \[x = 1, y = -1\]
4) Решение уравнения
Решим уравнение: \[3x^4 - 28x^2 + 9 = 0\]
Показать решение
Пусть \[t = x^2\], тогда уравнение примет вид:
\[3t^2 - 28t + 9 = 0\]Найдем дискриминант:
\[D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2\]Найдем корни:
\[t_1 = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9\] \[t_2 = \frac{28 - 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]Вернемся к замене:
\[x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\] \[x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\]Ответ: \[x = \pm 3, x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\]
№24. 1) Сумма первых шести членов геометрической прогрессии
Найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если \[b_n = 4 \cdot (0.5)^{n-1}\]
Показать решение
Найдем первый член прогрессии:
\[b_1 = 4 \cdot (0.5)^{1-1} = 4 \cdot (0.5)^0 = 4 \cdot 1 = 4\]Найдем знаменатель прогрессии:
\[q = 0.5\]Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]В нашем случае n = 6, поэтому:
\[S_6 = \frac{4(1 - (0.5)^6)}{1 - 0.5} = \frac{4(1 - \frac{1}{64})}{0.5} = \frac{4(\frac{63}{64})}{0.5} = 8 \cdot \frac{63}{64} = \frac{63}{8} = 7.875\]Ответ: \[S_6 = 7.875\]
2) Решение неравенства
Решим неравенство: \[\frac{1 + 4y}{1 - 3y} < 1\]
Показать решение
Перенесем 1 в левую часть:
\[\frac{1 + 4y}{1 - 3y} - 1 < 0\] \[\frac{1 + 4y - (1 - 3y)}{1 - 3y} < 0\] \[\frac{1 + 4y - 1 + 3y}{1 - 3y} < 0\] \[\frac{7y}{1 - 3y} < 0\]Найдем нули числителя и знаменателя:
\[7y = 0 \Rightarrow y = 0\] \[1 - 3y = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3}\]Метод интервалов:
----(-)-0-(+)-1/3-(-)--->
Решение неравенства:
\[y < 0 \cup y > \frac{1}{3}\]Ответ: \[y \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)\]
3) Решение системы уравнений
Решим систему уравнений:
\[\begin{cases} \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} = 2 \\ \frac{3}{x + y} + \frac{4}{x - y} = 7 \end{cases}\]Показать решение
Введем замену:
\[a = \frac{1}{x + y}, b = \frac{1}{x - y}\]Тогда система примет вид:
\[\begin{cases} a + b = 2 \\ 3a + 4b = 7 \end{cases}\]Выразим a из первого уравнения:
\[a = 2 - b\]Подставим во второе уравнение:
\[3(2 - b) + 4b = 7\] \[6 - 3b + 4b = 7\] \[b = 1\]Тогда:
\[a = 2 - 1 = 1\]Вернемся к замене:
\[\frac{1}{x + y} = 1 \Rightarrow x + y = 1\] \[\frac{1}{x - y} = 1 \Rightarrow x - y = 1\]Решим систему:
\[\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}\]Сложим уравнения:
\[2x = 2 \Rightarrow x = 1\]Тогда:
\[y = 1 - x = 1 - 1 = 0\]Ответ: \[x = 1, y = 0\]
4) Сравнение значений выражений
Сравним значения выражений \[(0.7)^{-5}\] и \[(0.7)^0\]
Поскольку \[(0.7)^0 = 1\]
А \[(0.7)^{-5} = \frac{1}{(0.7)^5}\]
Так как \[0.7 < 1\], то \[(0.7)^5 < 1\]
Следовательно, \[\frac{1}{(0.7)^5} > 1\]
Значит, \[(0.7)^{-5} > (0.7)^0\]
Ответ: \[(0.7)^{-5} > (0.7)^0\]
