Решите систему: 2x² − y² = 34, xy = 20.

Возведём второе уравнение в квадрат:

\(x^2y^2=400\).

Обозначим \(a=x^2\), \(b=y^2\). Тогда получаем систему:

\[\begin{cases}2a-b=34,\\ab=400.\end{cases}\]

Из первого уравнения \(b=2a-34\). Подставим во второе:

\(a(2a-34)=400\),

\(2a^2-34a-400=0\),

\(a^2-17a-200=0\).

Найдём корни:

\(a=\frac{17\pm\sqrt{17^2+4\cdot200}}{2}=\frac{17\pm33}{2}\).

Так как \(a=x^2\geq0\), подходит только \(a=25\). Тогда \(x^2=25\), откуда \(x=\pm5\).

\(b=2\cdot25-34=16\), поэтому \(y^2=16\), откуда \(y=\pm4\).

Из условия \(xy=20>0\) следует, что знаки \(x\) и \(y\) должны совпадать.

Ответ: \((x;y)=(5;4)\) и \((x;y)=(-5;-4)\).