Решите самостоятельно. Найти частные производные первого порядка функций a) z(x, y) = x⁶ + 2y⁵ - x⁴y³ - 7x³y²; б) z(x, y) = x⁷-3y⁴ - eˣ + x²y +5x³y². Решение:

Привет! Давай помогу тебе разобраться с частными производными. Сейчас решим эти примеры шаг за шагом.

а) z(x, y) = x⁶ + 2y⁵ - x⁴y³ - 7x³y²

1. Находим частную производную по x (dz/dx):

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^6 + 2y^5 - x^4y^3 - 7x^3y^2)\] \[\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^5 - 4x^3y^3 - 21x^2y^2\]

2. Находим частную производную по y (dz/dy):

\[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^6 + 2y^5 - x^4y^3 - 7x^3y^2)\] \[\frac{\partial z}{\partial y} = 10y^4 - 3x^4y^2 - 14x^3y\]

б) z(x, y) = x⁷ - 3y⁴ - eˣ + x²y + 5x³y²

1. Находим частную производную по x (dz/dx):

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^7 - 3y^4 - e^x + x^2y + 5x^3y^2)\] \[\frac{\partial z}{\partial x} = 7x^6 - e^x + 2xy + 15x^2y^2\]

2. Находим частную производную по y (dz/dy):

\[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^7 - 3y^4 - e^x + x^2y + 5x^3y^2)\] \[\frac{\partial z}{\partial y} = -12y^3 + x^2 + 10x^3y\]

Ответ: a) dz/dx = 6x⁵ - 4x³y³ - 21x²y², dz/dy = 10y⁴ - 3x⁴y² - 14x³y; б) dz/dx = 7x⁶ - eˣ + 2xy + 15x²y², dz/dy = -12y³ + x² + 10x³y

Отлично! Теперь ты умеешь находить частные производные. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!