Решите неравенство 25x²-10x+1<0. 5x²+9x-2

Решение:

Для решения неравенства \[\frac{25x^2 - 10x + 1}{5x^2 + 9x - 2} \le 0\] методом интервалов, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти нули числителя:

Решим уравнение: \[25x^2 - 10x + 1 = 0\]

Это квадратное уравнение можно представить как: \[(5x - 1)^2 = 0\]

Отсюда находим: \[x = \frac{1}{5}\]

Так как это квадрат, то корень имеет кратность 2.

2. Найти нули знаменателя:

Решим уравнение: \[5x^2 + 9x - 2 = 0\]

Используем дискриминант: \[D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121\]

Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = -2\] \[x_2 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{1}{5}\]

3. Определить знаки на интервалах:

Отметим корни на числовой прямой: \[-2, \frac{1}{5}\]

Проверим знаки на интервалах:

• \[x < -2\]: Выберем \[x = -3\]: \[\frac{25(-3)^2 - 10(-3) + 1}{5(-3)^2 + 9(-3) - 2} = \frac{25 \cdot 9 + 30 + 1}{5 \cdot 9 - 27 - 2} = \frac{225 + 30 + 1}{45 - 27 - 2} = \frac{256}{16} > 0\]
• \[-2 < x < \frac{1}{5}\]: Выберем \[x = 0\]: \[\frac{25(0)^2 - 10(0) + 1}{5(0)^2 + 9(0) - 2} = \frac{1}{-2} < 0\]
• \[x > \frac{1}{5}\]: Выберем \[x = 1\]: \[\frac{25(1)^2 - 10(1) + 1}{5(1)^2 + 9(1) - 2} = \frac{25 - 10 + 1}{5 + 9 - 2} = \frac{16}{12} > 0\]
4. Записать ответ:

Так как нам нужно \[\frac{25x^2 - 10x + 1}{5x^2 + 9x - 2} \le 0\]

То \[x \in (-2; \frac{1}{5})\]

Но так как у нас есть корень кратности 2 в точке \[x = \frac{1}{5}\] от числителя, который не является решением (делает числитель нулем), и точка \[x = \frac{1}{5}\] является нулем знаменателя, то этот корень нужно исключить из интервала.

Точка \[x = -2\] исключается, так как это ноль знаменателя.