Решите неравенство 4x² +4x+1 x+120. 2 2x-5x-3

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель на множители.

   Числитель: 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)²

   Знаменатель: 2x² - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)

2. Шаг 2: Запишем неравенство с разложенными на множители числителем и знаменателем: \[\frac{(2x+1)^2}{(2x+1)(x-3)} \ge 0\]
3. Шаг 3: Сократим дробь на (2x+1), учитывая, что 2x+1 ≠ 0, т.е. x ≠ -0.5: \[\frac{2x+1}{x-3} \ge 0\]
4. Шаг 4: Найдем нули числителя и знаменателя:
   • Числитель: 2x + 1 = 0 => x = -0.5
   • Знаменатель: x - 3 = 0 => x = 3
5. Шаг 5: Отметим найденные точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

                                    +
       ------------------------(3)--------->
                                    x
      

6. Шаг 6: Определим знак каждого интервала.
   • x < -0.5: (2x+1)<0, (x-3)<0 => дробь положительна
   • -0.5 < x < 3: (2x+1)>0, (x-3)<0 => дробь отрицательна
   • x > 3: (2x+1)>0, (x-3)>0 => дробь положительна
7. Шаг 7: Учитываем, что x = -0.5 является решением, поскольку числитель может быть равен нулю.
8. Шаг 8: Запишем решение, учитывая, что x ≠ -0.5 из-за сокращения и x ≠ 3 из-за знаменателя:

   x = -0.5 и x > 3

Ответ: x = -0.5 и x > 3