1. Решите неравенство: logo,5 (2x-1)> -1 32x-3-6≤0

Ответ: (0.5; 1) ∪ {1}

1. Решим первое неравенство: \[\log_{0.5}(2x - 1) > -1\]

   Представим -1 как логарифм по основанию 0.5:

   \[\log_{0.5}(2x - 1) > \log_{0.5}(0.5)^{-1}\] \[\log_{0.5}(2x - 1) > \log_{0.5}(2)\]

   Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется:

   \[2x - 1 < 2\] \[2x < 3\] \[x < 1.5\]

   Учитываем ОДЗ логарифма:

   \[2x - 1 > 0\] \[2x > 1\] \[x > 0.5\]

   Получаем интервал для первого неравенства: (0.5; 1.5)

2. Решим второе неравенство: \[3^{2x} - 3^x - 6 \le 0\]

   Замена переменной: пусть \(t = 3^x\), тогда \(t > 0\)

   \[t^2 - t - 6 \le 0\]

   Найдем корни квадратного уравнения:

   \[t^2 - t - 6 = 0\] \[D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\] \[t_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2, \quad t_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\]

   Решаем неравенство методом интервалов:

   \[(t + 2)(t - 3) \le 0\]

   Так как \(t > 0\), то рассматриваем интервал (0; 3]

   Возвращаемся к замене:

   \[3^x \le 3\] \[3^x \le 3^1\] \[x \le 1\]

   Получаем интервал для второго неравенства: (-∞; 1]

3. Найдем пересечение решений:

   Пересечение интервалов (0.5; 1.5) и (-∞; 1] есть (0.5; 1]

4. Проверка граничных точек:

   При \(x = 1\):

   \[\log_{0.5}(2(1) - 1) > -1 \Rightarrow \log_{0.5}(1) > -1 \Rightarrow 0 > -1 \text{ (верно)}\] \[3^{2(1)} - 3^1 - 6 \le 0 \Rightarrow 9 - 3 - 6 \le 0 \Rightarrow 0 \le 0 \text{ (верно)}\]
5. Уточнение:

   Заметим, что при \(x = 1\) оба неравенства выполняются. Однако, так как в первом неравенстве требуется строгое больше, то при \(x = 1.5\) первое неравенство не выполняется, а при \(x = 0.5\) логарифм не определен. Второе неравенство выполняется при \(x = 1\). Таким образом, окончательное решение представляет собой объединение интервала и точки.

Ответ: (0.5; 1) ∪ {1}