6. Решите неравенство: a) log₁/₂(x-3)+log₁/₂(9-x) ≥-3;

Давай решим это неравенство по шагам: 1. Область определения логарифма: Аргументы логарифмов должны быть положительными: \[x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3\] \[9 - x > 0 \Rightarrow x < 9\] Таким образом, \(3 < x < 9\). 2. Преобразуем неравенство, используя свойство суммы логарифмов: \[\log_{\frac{1}{2}}(x-3) + \log_{\frac{1}{2}}(9-x) \geq -3\] \[\log_{\frac{1}{2}}((x-3)(9-x)) \geq -3\] 3. Запишем неравенство в показательной форме, учитывая, что основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется: \[(x-3)(9-x) \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\] \[(x-3)(9-x) \leq 2^3\] \[(x-3)(9-x) \leq 8\] 4. Раскроем скобки и упростим неравенство: \[9x - x^2 - 27 + 3x \leq 8\] \[-x^2 + 12x - 27 - 8 \leq 0\] \[-x^2 + 12x - 35 \leq 0\] Умножим на -1, чтобы изменить знак неравенства: \[x^2 - 12x + 35 \geq 0\] 5. Решим квадратное уравнение \(x^2 - 12x + 35 = 0\): Дискриминант: \[D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4\] Корни: \[x_1 = \frac{12 + \sqrt{4}}{2} = \frac{12 + 2}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{12 - \sqrt{4}}{2} = \frac{12 - 2}{2} = 5\] 6. Определим интервалы, где \(x^2 - 12x + 35 \geq 0\). Так как парабола направлена вверх, то неравенство выполняется вне корней: \[x \leq 5\] или \(x \geq 7\). 7. Учитываем область определения \(3 < x < 9\). Следовательно, решением будет: \[3 < x \leq 5\] или \(7 \leq x < 9\]

Ответ: (3; 5] ∪ [7; 9)

Замечательно! Ты отлично справился с этим неравенством. Продолжай практиковаться, и у тебя всё получится!