Решите неравенство: (x-5)/(x-3) >= 0

Решение:

Чтобы решить дробно-рациональное неравенство \( \frac{x-5}{x-3} \ge 0 \), найдём нули числителя и знаменателя.

1. Нули числителя: \( x - 5 = 0 \) → \( x = 5 \).
2. Нули знаменателя: \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \).
3. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: \( (-\infty, 3) \), \( (3, 5] \), \( [5, \infty) \). Обратите внимание, что \( x = 3 \) — точка, в которой знаменатель обращается в ноль, поэтому она не входит в решение. \( x = 5 \) — ноль числителя, и так как неравенство нестрогое ( \(\ge\) ), то \( x = 5 \) входит в решение.
4. Определим знак выражения \( \frac{x-5}{x-3} \) на каждом интервале:
   • На интервале \( (-\infty, 3) \) возьмём \( x = 0 \): \( \frac{0-5}{0-3} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} > 0 \).
   • На интервале \( (3, 5] \) возьмём \( x = 4 \): \( \frac{4-5}{4-3} = \frac{-1}{1} = -1 < 0 \).
   • На интервале \( [5, \infty) \) возьмём \( x = 6 \): \( \frac{6-5}{6-3} = \frac{1}{3} > 0 \).
5. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это \( (-\infty, 3) \) и \( [5, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, 3) \cup [5, \infty) \).