Решите неравенство (x+5)² (x-2) ≥0. x²+3x-10 Решение.

Решение:

Данное неравенство имеет вид:

\( \frac{(x+5)^2 (x-2)}{x^2 + 3x - 10} \ge 0 \)

Разложим знаменатель на множители. Для этого найдём корни квадратного уравнения \( x^2 + 3x - 10 = 0 \).

Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).

\( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Таким образом, знаменатель можно записать как \( (x-2)(x+5) \).

Теперь исходное неравенство примет вид:

\( \frac{(x+5)^2 (x-2)}{(x-2)(x+5)} \ge 0 \)

Обратим внимание, что знаменатель не должен равняться нулю, следовательно \( x
e 2 \) и \( x
e -5 \).

Сократим дробь, учитывая ограничения:

\( \frac{(x+5)}{1} \ge 0 \), при условии \( x
e 2 \) и \( x
e -5 \).

Решим полученное линейное неравенство:

\( x+5 \ge 0 \)

\( x \ge -5 \)

Учитывая ограничения \( x
e 2 \) и \( x
e -5 \), получаем:

\( x > -5 \) и \( x
e 2 \).

В виде интервалов это записывается как \( (-5; 2) \cup (2; +\infty) \).

Ответ: \( (-5; 2) \cup (2; +\infty) \).