Решите неравенство (x+3)^3 * (x-5) / (x^2 - 4x - 21) <= 0.

Решение неравенства:

1. Разложим знаменатель на множители:\[ x^2 - 4x - 21 = 0 \]\[ D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \]\[ x_1 = \frac{4 - 10}{2} = -3 \]\[ x_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7 \]\[ x^2 - 4x - 21 = (x+3)(x-7) \]
2. Перепишем неравенство:\[ \frac{(x+3)^3 (x-5)}{(x+3)(x-7)} \le 0 \]
3. Сократим на (x+3), учтя, что x ≠ -3:\[ \frac{(x+3)^2 (x-5)}{x-7} \le 0 \]
4. Проанализируем знак выражения методом интервалов:

   Числитель (x+3)^2 всегда неотрицателен. Знаменатель (x-7) отрицателен при x < 7.

   Следовательно, дробь будет неотрицательной, когда знаменатель отрицателен, а числитель неотрицателен.

   • x = -3 (числитель равен 0, но мы исключили это значение ранее, так как знаменатель тоже был бы 0).
   • x = 5 (числитель равен 0).
   • x < 7 (знаменатель отрицателен).

   Объединяя эти условия, получаем:

   • x [-3; 5] (7; +∞)
   • Учитывая, что x 7, интервал будет x [-3; 5].

   Проверка:

   • Возьмем x = 0 : (0+3)^2 * (0-5) / (0-7) = 9 * (-5) / (-7) = -45 / -7 > 0. Не подходит.
   • Возьмем x = 6 : (6+3)^2 * (6-5) / (6-7) = 81 * 1 / (-1) = -81 < 0. Подходит.
   • Возьмем x = 8 : (8+3)^2 * (8-5) / (8-7) = 121 * 3 / 1 = 363 > 0. Не подходит.
   • x = -4 : (-4+3)^2 * (-4-5) / (-4-7) = 1 * (-9) / (-11) = 9/11 > 0. Не подходит.

   Исходя из анализа знаков:

   • Если x < -3: числитель > 0, знаменатель < 0 => дробь < 0.
   • Если -3 < x < 5: числитель > 0, знаменатель < 0 => дробь < 0.
   • Если 5 < x < 7: числитель > 0, знаменатель < 0 => дробь < 0.
   • Если x > 7: числитель > 0, знаменатель > 0 => дробь > 0.

   Учитывая, что x = -3, x = 5, мы получаем:

   • x [-3; 5] (7).
5. Итоговый интервал:\[ x \in [-3; 5] \]

Ответ: \[ [-3; 5] \]