Решите неравенство: x² + 23x ≤ 0.

Решение:

Неравенство \( x^2 + 23x \le 0 \) можно решить, разложив левую часть на множители:

1. Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x(x + 23) \le 0 \).
2. Найдем корни уравнения \( x(x + 23) = 0 \). Корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -23 \).
3. Эти корни разбивают числовую прямую на три промежутка: \( (-\infty; -23) \), \( (-23; 0) \) и \( (0; +\infty) \).
4. Проверим знак выражения \( x(x + 23) \) в каждом промежутке:
   • На \( (-\infty; -23) \), например, при \( x = -24 \): \( (-24)(-24 + 23) = (-24)(-1) = 24 > 0 \).
   • На \( (-23; 0) \), например, при \( x = -1 \): \( (-1)(-1 + 23) = (-1)(22) = -22 < 0 \).
   • На \( (0; +\infty) \), например, при \( x = 1 \): \( (1)(1 + 23) = (1)(24) = 24 > 0 \).
5. Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю \( \le 0 \). Это выполняется на промежутке \( (-23; 0) \).
6. Поскольку неравенство нестрогое (\( \le \)), то корни \( -23 \) и \( 0 \) включаются в решение.

Таким образом, решение неравенства — промежуток \( [-23; 0] \).

Ответ: 4) [-23; 0]