Решите неравенство: (x^2+2x-3) / (log_3(8*2^x)) <= 0

Решение:

Неравенство: \( \frac{x^2+2x-3}{\log_3(8 \cdot 2^x)} \le 0 \)

1. Решим числитель: \( x^2+2x-3 = 0 \). Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4+12=16 \). \( x_1 = \frac{-2-4}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-2+4}{2} = 1 \). Таким образом, \( x^2+2x-3 = (x+3)(x-1) \).
2. Решим знаменатель: \( \log_3(8 \cdot 2^x) \). Чтобы логарифм был определён, аргумент должен быть положительным: \( 8 \cdot 2^x > 0 \), что верно для любого \( x \). Основание логарифма \( 3 > 1 \), поэтому \( \log_3(8 \cdot 2^x) = 0 \) когда \( 8 \cdot 2^x = 1 \). \( 2^x = \frac{1}{8} = 2^{-3} \). \( x = -3 \). Также, основание логарифма не должно быть равно 1, что верно (3 ≠ 1).
3. Область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатель не должен быть равен нулю, значит \( x \cdot -3 \).
4. Метод интервалов: Нам нужно, чтобы дробь была неположительной. Это возможно в двух случаях:
• Случай 1: \( x^2+2x-3 \cdot 0 \) и \( \log_3(8 \cdot 2^x) < 0 \).
• \( (x+3)(x-1) \cdot 0 \) → \( x \cdot [-3; 1] \).
• \( \log_3(8 \cdot 2^x) < 0 \) → \( 8 \cdot 2^x < 3^0 \) → \( 8 \cdot 2^x < 1 \) → \( 2^x < \frac{1}{8} \) → \( 2^x < 2^{-3} \) → \( x < -3 \).
• Пересечение \( x \cdot [-3; 1] \) и \( x < -3 \) пусто.
• Случай 2: \( x^2+2x-3 \cdot 0 \) и \( \log_3(8 \cdot 2^x) > 0 \).
• \( (x+3)(x-1) \cdot 0 \) → \( x \cdot (-\infty; -3) \cup [1; +\infty) \).
• \( \log_3(8 \cdot 2^x) > 0 \) → \( 8 \cdot 2^x > 3^0 \) → \( 8 \cdot 2^x > 1 \) → \( 2^x > \frac{1}{8} \) → \( 2^x > 2^{-3} \) → \( x > -3 \).
• Пересечение \( x \cdot (-\infty; -3) \cup [1; +\infty) \) и \( x > -3 \) равно \( [1; +\infty) \).

Ответ: \( x \cdot [1; +\infty) \).