Решите неравенство: (4x+1) + (5-2x)(8x-7) > 7

Решим неравенство по шагам: 1. Раскроем скобки: Сначала раскроем скобки во втором слагаемом: $$(5-2x)(8x-7)$$: $$(5-2x)(8x-7) = 5(8x) + 5(-7) - 2x(8x) - 2x(-7) = 40x - 35 - 16x^2 + 14x$$ 2. Упростим неравенство: Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство: $$(4x + 1) + (40x - 35 - 16x^2 + 14x) > 7$$ $$4x + 1 + 40x - 35 - 16x^2 + 14x > 7$$ $$-16x^2 + (4x + 40x + 14x) + (1 - 35) > 7$$ $$-16x^2 + 58x - 34 > 7$$ 3. Перенесем все в одну сторону: $$-16x^2 + 58x - 34 - 7 > 0$$ $$-16x^2 + 58x - 41 > 0$$ 4. Изменим знак неравенства и умножим на -1 (не забываем изменить знак неравенства): $$16x^2 - 58x + 41 < 0$$ 5. Решим квадратное уравнение: Рассмотрим квадратное уравнение $$16x^2 - 58x + 41 = 0$$. Найдем дискриминант $$D$$: $$D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4(16)(41) = 3364 - 2624 = 740$$ Найдем корни уравнения $$x_1$$ и $$x_2$$: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 + \sqrt{740}}{32} = \frac{58 + 2\sqrt{185}}{32} = \frac{29 + \sqrt{185}}{16}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 - \sqrt{740}}{32} = \frac{58 - 2\sqrt{185}}{32} = \frac{29 - \sqrt{185}}{16}$$ 6. Запишем приближенные значения корней: $$x_1 \approx \frac{29 + 13.6}{16} \approx \frac{42.6}{16} \approx 2.66$$ $$x_2 \approx \frac{29 - 13.6}{16} \approx \frac{15.4}{16} \approx 0.96$$ 7. Определим интервалы: Так как неравенство $$16x^2 - 58x + 41 < 0$$, и коэффициент при $$x^2$$ положительный, решением будет интервал между корнями: $$x \in \left( \frac{29 - \sqrt{185}}{16}, \frac{29 + \sqrt{185}}{16} \right)$$ 8. Запишем ответ в виде интервала: $$x \in \left( \frac{29 - \sqrt{185}}{16}, \frac{29 + \sqrt{185}}{16} \right) \approx (0.96, 2.66)$$ Ответ: $$x \in \left( \frac{29 - \sqrt{185}}{16}, \frac{29 + \sqrt{185}}{16} \right)$$ Теперь нарисуем числовую прямую с этими точками: